Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €5 000 in 9 Jahren. Ein Konto bringt 4,8 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €5 0004,8% / 12n = 9

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €25 000 wird über 7 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 7,2 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel Zinsen I werden über die gesamte Laufzeit gezahlt?

P = €25 0007,2% / 12N = 84

I = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €30 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €13 000, €11 000, €14 000, €8 000. Die Kapitalkosten betragen 7,000000000000001 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −30 000CF₁ = 13 000CF₂ = 11 000CF₃ = 14 000CF₄ = 8 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €6 000, €5 500, €4 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 500CF₃ = 4 000

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 12 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 5% für €1 177 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 12P = €1 177YTM = 5%

c = %

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 3% wird in 9 Jahren fällig und kostet €890. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 9P = €890

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen ist finanziert mit Stammaktien im Wert von €6 000 000, Vorzugsaktien im Wert von €1 000 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Die Eigenkapitalkosten betragen 10%, die Kosten der Vorzugsaktien 8% und die Fremdkapitalkosten vor Steuern 3%. Der Steuersatz beträgt 25,8%. Bestimme den WACC.

E = €6 000 000P_s = €1 000 000D = €4 000 000r_e = 10%r_p = 8%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 0,9. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 0,5. Der Steuersatz beträgt 20%, der risikolose Zinssatz 2,5% und die Marktrisikoprämie 5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 0,9D/E = 0,5T = 20%r_f = 2,5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €40 verkauft, bei variablen Kosten von €30 pro Stück. Die Fixkosten betragen €50 000 pro Monat, und der Gewinn wird mit 25 % besteuert. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um nach Steuern €15 000 zu verdienen?

p = €40v = €30F = €50 000T = 25%Gewinn nach Steuern = €15 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €22 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €12 pro Stück und Fixkosten von €10 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 1 800 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €10 000p = €22v = €12Plan = 1 800

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 3249 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·9 = 108

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,539 = €3 248,85

Antwort

PV = €3 248,85

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: I = 6900 €

Monatliche Rate

i = 0,006, N = 84

A = 25 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻⁸⁴) = €379,77

Gesamtzinsen

I = N·A − P = 84·379,8 − 25 000 = €6 900,34

Antwort

I = €6 900,34

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 9289 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 13 000/1,07 = 12 149,53

CF₂/(1 + 0,07)² = 11 000/1,145 = 9 607,83

CF₃/(1 + 0,07)³ = 14 000/1,225 = 11 428,17

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 8 000/1,311 = 6 103,16

Addieren

NPV = €9 288,69

Antwort

NPV = €9 288,69

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 27,64 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(25%) = 368,00

NPV(30%) = −309,51

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 25 + 5·368,00/(368,00 − (−309,51)) = 27,72%

exakt: NPV(27,64%) = 0 → IRR = 27,64%

Antwort

IRR = 27,64%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 6,997 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,05)⁻¹² = €556,84

Kupon

C = (1177 − 556,84)/8,863 = €69,97

Kuponsatz

c = 69,97/1000 = 6,997%

Antwort

c = 6,997%

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 4,514 %

Gleichung für die Rendite

€890 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Numerisch lösen

P(4%) = €925,65, P(5%) = €857,84

YTM = 4,514%

Antwort

YTM = 4,514%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,991 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = 6 000 000 + 1 000 000 + 4 000 000 = €11 000 000

E/V = 0,5455, P_s/V = 0,09091, D/V = 0,3636

WACC

WACC = 0,5455·10% + 0,09091·8% + 0,3636·3%·(1 − 0,258) = 6,991%

Antwort

WACC = 6,991%

8.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 8,8 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 0,9·(1 + 0,8·0,5) = 1,26

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,26·5% = 8,8%

Antwort

r_e = 8,8%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 7000 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Nötiger Gewinn vor Steuern

15 000/(1 − 0,25) = €20 000

Benötigte Stückzahl

Q = (50 000 + 20 000)/10 = 7 000

Antwort

Q = 7 000 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 44,44 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 10 000/10 = 1 000

Sicherheitsabstand

MS = (1 800 − 1 000)/1 800·100 = 44,44%

Antwort

MS = 44,44%

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