Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €25 000 in 4 Jahren. Ein Konto bringt 3,6 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €25 0003,6% / 4n = 4

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 17 Jahre lang am Ende jedes Monats €250. Das Konto bringt 4,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €2504,2% / 12N = 204

FV = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €50 000. Sie erwirtschaftet 8 Jahre lang am Ende jedes Jahres €9 500 und kann danach für €12 500 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €50 000CF = €9 500S = €12 500n = 8r = 10%

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €13 500, €9 500, €13 000. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 6 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 6%CF₀ = −25 000CF₁ = 13 500CF₂ = 9 500CF₃ = 13 000

MIRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4,5% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 8 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 8% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 4,5%YTM = 8%n = 8

P = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 8% wird in 5 Jahren fällig und kostet €960. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 8%n = 5P = €960

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Eine Aktie mit einem Beta von 1,6 hat eine geforderte Rendite von 10,3%. Der risikolose Zinssatz beträgt 1,5%. Welche erwartete Marktrendite r_m folgt aus dem CAPM?

β = 1,6r_e = 10,3%r_f = 1,5%

r_m = %

8.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,5 ein Beta von 1,5. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 1,25 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 25%, der risikolose Zinssatz 3,5% und die Marktrisikoprämie 5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,5D/E₂ = 1,25T = 25%r_f = 3,5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €53 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €45 pro Stück. Die Fixkosten betragen €20 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €10 000 zu erzielen?

F = €20 000p = €53v = €45Gewinn = €10 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Unternehmen verkauft 3 000 Stück pro Monat zu je €21, mit variablen Kosten von €15 pro Stück und Fixkosten von €12 000 pro Monat. Die variablen Kosten steigen um €3 pro Stück, der Preis bleibt gleich. Wie viele Stück Q müssen jetzt pro Monat verkauft werden, um denselben Gewinn zu halten?

Q = 3 000p = €21v = €15 → €18F = €12 000

Q = Stück

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 21661 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·4 = 16

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,154 = €21 661,14

Antwort

PV = €21 661,14

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 74257 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·17 = 204

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,04 − 1)/0,0035 = €74 257,10

Antwort

FV = €74 257,10

Du hast selbst €51 000 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 6513 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

9 500·5,335 = 50 681,80

Barwert des Restwerts

12 500/2,144 = 5 831,34

NPV

NPV = −50 000 + 50 681,80 + 5 831,34 = €6 513,14

Antwort

NPV = €6 513,14

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 15,22 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

13 500·1,06² = 15 168,60

9 500·1,06¹ = 10 070,00

13 000·1,06⁰ = 13 000,00

TV = 38 238,60

MIRR

MIRR = (38 238,60/25 000)^1/3 − 1 = 15,22%

Antwort

MIRR = 15,22%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 796,1 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €22,50, i = 0,04, N = 16

Barwert der Kupons

€22,50·(1 − 0,5339)/0,04 = €262,18

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,5339 = €533,91

Kurs

P = €796,08

Antwort

P = €796,08

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 9,029 %

Gleichung für die Rendite

€960 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Numerisch lösen

P(9%) = €961,10, P(10%) = €924,18

YTM = 9,029%

Antwort

YTM = 9,029%

7.CAPM & WACC

Antwort: r_m = 7 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Marktrisikoprämie

r_m − r_f = (10,3% − 1,5%)/1,6 = 5,5%

Marktrendite

r_m = 1,5% + 5,5% = 7%

Antwort

r_m = 7%

8.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 14,07 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1,5/(1 + 0,75·0,5) = 1,091

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 1,091·(1 + 0,75·1,25) = 2,114

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3,5% + 2,114·5% = 14,07%

Antwort

r_e = 14,07%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 3750 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 53 − 45 = €8

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (20 000 + 10 000)/8 = 3 750

Antwort

Q = 3 750 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 6000 Stück

Bisheriger Gewinn

Π = 3 000·(21 − 15) − 12 000 = €6 000

Neuer Deckungsbeitrag pro Stück

21 − 18 = €3

Stückzahl für denselben Gewinn

Q = (12 000 + 6 000)/3 = 6 000

Antwort

Q = 6 000 Stück

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