Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €20 000 zu einem Nominalzins von 3 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 2 Jahren.

PV = €20 0003% / 12n = 2

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du zahlst 25 Jahre lang am Anfang jedes Jahres €2 000 ein, die erste Einzahlung heute. Das Konto bringt 4 % pro Jahr. Wie viel ist am Ende von Jahr 25 auf dem Konto? Bestimme FV.

A = €2 000i = 4%n = 25

FV = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €20 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €10 000, €7 000, €9 000. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 7 000CF₃ = 9 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 2 €10 500, €14 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 500CF₂ = 14 500

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 8% und wird in 10 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 5% auf 4,5%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?

F = €1 000Kuponsatz = 8%n = 10y₁ = 5%y₂ = 4,5%

ΔP = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 5% wird in 3 Jahren fällig und kostet €935. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 5%n = 3P = €935

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €3 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Sein WACC beträgt 6,3%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 5% und der Steuersatz 28%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e.

E = €3 000 000D = €3 000 000WACC = 6,3%r_d = 5%T = 28%

r_e = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 1 000 000 Aktien zu je €23,00 und 20 000 Anleihen mit einem Kurs von je €980. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 4,5% und der Steuersatz 20%. Das Beta der Aktie ist 1,1, der risikofreie Zinssatz 1,5% und die Marktrendite 6,5%. Bestimme den WACC.

β = 1,1r_f = 1,5%r_m = 6,5%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €9 verkauft, bei variablen Kosten von €4 pro Stück. Die Fixkosten betragen €2 500 pro Monat, und der Gewinn wird mit 20 % besteuert. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um nach Steuern €1 500 zu verdienen?

p = €9v = €4F = €2 500T = 20%Gewinn nach Steuern = €1 500

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €28 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €18 pro Stück und Fixkosten von €25 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 4 500 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €25 000p = €28v = €18Plan = 4 500

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 21235 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·2 = 24

Endwert

FV = 20 000·(1 + 0,0025)²⁴ = 20 000·1,062 = €21 235,14

Antwort

FV = €21 235,14

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 86623 €

Endwertfaktor der nachschüssigen Rente

((1 + 0,04)²⁵ − 1)/0,04 = 41,65

Vorschüssige Rente

Jede Einzahlung ist ein Jahr länger angelegt.

FV = 2 000·41,65·1,04 = €86 623,49

Antwort

FV = €86 623,49

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 1638 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 10 000/1,1 = 9 090,91

CF₂/(1 + 0,1)² = 7 000/1,21 = 5 785,12

CF₃/(1 + 0,1)³ = 9 000/1,331 = 6 761,83

Addieren

NPV = €1 637,87

Antwort

NPV = €1 637,87

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 15,35 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(15%) = 94,52

NPV(20%) = −1 180,56

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 15 + 5·94,52/(94,52 − (−1 180,56)) = 15,37%

exakt: NPV(15,35%) = 0 → IRR = 15,35%

Antwort

IRR = 15,35%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: ΔP = 45,29 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kurs bei der alten Rendite

C = €80,00, i = 0,05, N = 10

€80,00·(1 − 0,6139)/0,05 + €1 000·0,6139 = €617,74 + €613,91 = €1 231,65

Kurs bei der neuen Rendite

C = €80,00, i = 0,045, N = 10

€80,00·(1 − 0,6439)/0,045 + €1 000·0,6439 = €633,02 + €643,93 = €1 276,95

Änderung

ΔP = 1 276,95 − 1 231,65 = €45,29

Antwort

ΔP = €45,29

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 7,499 %

Gleichung für die Rendite

€935 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Numerisch lösen

P(7%) = €947,51, P(8%) = €922,69

YTM = 7,499%

Antwort

YTM = 7,499%

7.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 9 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

Fremdkapitalanteil am WACC

0,5·5%·(1 − 0,28) = 1,8%

Eigenkapitalkosten

r_e = (6,3% − 1,8%)/0,5 = 9%

Antwort

r_e = 9%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,436 %

Marktwerte

E = 1 000 000·€23,00 = €23 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,1·5% = 7%

Gewichte

V = €42 600 000, E/V = 0,5399, D/V = 0,4601

WACC

WACC = 0,5399·7% + 0,4601·4,5%·(1 − 0,2) = 5,436%

Antwort

WACC = 5,436%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 875 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Nötiger Gewinn vor Steuern

1 500/(1 − 0,2) = €1 875

Benötigte Stückzahl

Q = (2 500 + 1 875)/5 = 875

Antwort

Q = 875 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 44,44 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 25 000/10 = 2 500

Sicherheitsabstand

MS = (4 500 − 2 500)/4 500·100 = 44,44%

Antwort

MS = 44,44%

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance