Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Immobilie soll im nächsten Jahr eine Nettomiete von €10 000 erzielen. Die Miete soll für immer um 3 % pro Jahr wachsen. Die geforderte Rendite beträgt 5 % pro Jahr. Bestimme den heutigen Wert PV der Immobilie.

C₁ = €10 000g = 3%r = 5%

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €30 000 wird über 6 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 5,4 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel Zinsen I werden über die gesamte Laufzeit gezahlt?

P = €30 0005,4% / 12N = 72

I = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €12 000, €10 000, €17 000. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 10 000CF₃ = 17 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €5 500, €4 000, €2 000. Projekt B kostet €12 000 und bringt €3 000, €4 500, €6 500. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 000B: −12 000, 3 000, 4 500, 6 500

r* = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 15 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 4% für €778 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 15P = €778YTM = 4%

c = %

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 4% wird in 8 Jahren fällig und kostet €1 110. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4%n = 8P = €1 110

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €10 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Sein WACC beträgt 7,19%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 6% und der Steuersatz 25%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e.

E = €10 000 000D = €3 000 000WACC = 7,19%r_d = 6%T = 25%

r_e = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 2 500 000 Aktien zu je €12,50 und 5 000 Anleihen mit einem Kurs von je €980. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 4,5% und der Steuersatz 21%. Das Beta der Aktie ist 1,3, der risikofreie Zinssatz 1% und die Marktrendite 6%. Bestimme den WACC.

β = 1,3r_f = 1%r_m = 6%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €17 verkauft, bei variablen Kosten von €15 pro Stück. Die Fixkosten betragen €3 000 pro Monat, und der Gewinn wird mit 20 % besteuert. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um nach Steuern €1 000 zu verdienen?

p = €17v = €15F = €3 000T = 20%Gewinn nach Steuern = €1 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €17 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €15 pro Stück und Fixkosten von €4 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 3 000 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €4 000p = €17v = €15Plan = 3 000

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 500000 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Wachsende ewige Rente

PV = C₁/(r − g) = 10 000/(0,05 − 0,03) = 10 000/0,02 = €500 000,00

Antwort

PV = €500 000,00

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: I = 5189 €

Monatliche Rate

i = 0,0045, N = 72

A = 30 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻⁷²) = €488,73

Gesamtzinsen

I = N·A − P = 72·488,7 − 30 000 = €5 188,85

Antwort

I = €5 188,85

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −13054 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 12 000/1,1 = 10 909,09

CF₂/(1 + 0,1)² = 10 000/1,21 = 8 264,46

CF₃/(1 + 0,1)³ = 17 000/1,331 = 12 772,35

Addieren

NPV = €−13 054,09

Antwort

NPV = €−13 054,09

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 4,59 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 000 − 5 500 = −2 500

ΔCF₂ = 4 500 − 4 000 = 500

ΔCF₃ = 6 500 − 2 000 = 4 500

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(4%) = 58,92

NPV_Δ(5%) = −40,17

r* = 4,59%

Antwort

r* = 4,59%

Probe: Bei 4,59% betragen beide Kapitalwerte €663,40.

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 2,003 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,04)⁻¹⁵ = €555,26

Kupon

C = (778 − 555,26)/11,12 = €20,03

Kuponsatz

c = 20,03/1000 = 2,003%

Antwort

c = 2,003%

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 2,468 %

Gleichung für die Rendite

€1 110 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Numerisch lösen

P(2%) = €1 146,51, P(3%) = €1 070,20

YTM = 2,468%

Antwort

YTM = 2,468%

7.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 7,997 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

Fremdkapitalanteil am WACC

0,2308·6%·(1 − 0,25) = 1,038%

Eigenkapitalkosten

r_e = (7,19% − 1,038%)/0,7692 = 7,997%

Antwort

r_e = 7,997%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,965 %

Marktwerte

E = 2 500 000·€12,50 = €31 250 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1% + 1,3·5% = 7,5%

Gewichte

V = €36 150 000, E/V = 0,8645, D/V = 0,1355

WACC

WACC = 0,8645·7,5% + 0,1355·4,5%·(1 − 0,21) = 6,965%

Antwort

WACC = 6,965%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 2125 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Nötiger Gewinn vor Steuern

1 000/(1 − 0,2) = €1 250

Benötigte Stückzahl

Q = (3 000 + 1 250)/2 = 2 125

Antwort

Q = 2 125 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 33,33 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 4 000/2 = 2 000

Sicherheitsabstand

MS = (3 000 − 2 000)/3 000·100 = 33,33%

Antwort

MS = 33,33%

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