Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €5 000 zu einem Nominalzins von 6 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 2 Jahren.

PV = €5 0006% / 4n = 2

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €5 000 zu 2,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €150 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €5 000A = €1502,4% / 12

N = Raten

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €30 000, hält 10 Jahre und verursacht €2 000 Betriebskosten pro Jahr (am Ende jedes Jahres gezahlt). Die Kapitalkosten betragen 8 %. Bestimme ihre äquivalenten jährlichen Kosten EAC.

C₀ = €30 000M = €2 000n = 10r = 8%

EAC = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 jeweils €4 000, €4 500, €5 500, €5 000. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 6 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 6%CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 4 500CF₃ = 5 500CF₄ = 5 000

MIRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 13 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 2,5% für €1 384 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 13P = €1 384YTM = 2,5%

c = %

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 6% wird in 10 Jahren fällig und kostet €865. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 10P = €865

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €8 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 14%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4% und der Steuersatz 28%. Bestimme den WACC.

E = €8 000 000D = €6 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 1 000 000 Aktien zu je €43,50 und 20 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 020. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 3,5% und der Steuersatz 28%. Das Beta der Aktie ist 1,3, der risikofreie Zinssatz 3% und die Marktrendite 7%. Bestimme den WACC.

β = 1,3r_f = 3%r_m = 7%r_d = 3,5%T = 28%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €27 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €25 pro Stück. Die Fixkosten betragen €8 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €5 000 zu erzielen?

F = €8 000p = €27v = €25Gewinn = €5 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €32 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €20 pro Stück und Fixkosten von €60 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 7 000 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €60 000p = €32v = €20Plan = 7 000

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 5632 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·2 = 8

Endwert

FV = 5 000·(1 + 0,015)⁸ = 5 000·1,126 = €5 632,46

Antwort

FV = €5 632,46

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 35 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,002

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,002/150 = 0,9333

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,9333)/ln(1,002) = 34,53

Auf ganze Raten aufrunden

34 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 35

Antwort

N = 35 Raten

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: EAC = 6471 €

Äquivalente jährliche Kosten: Verteile den Barwert aller Kosten als gleichen jährlichen Betrag (eine Rente) über die Lebensdauer: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). So lassen sich Maschinen mit unterschiedlicher Lebensdauer vergleichen.

Rentenbarwertfaktor

(1 − 1,08⁻¹⁰)/0,08 = 6,71

Annualisierter Kaufpreis

30 000/6,71 = 4 470,88

EAC

EAC = 4 470,88 + 2 000 = €6 470,88

Antwort

EAC = €6 470,88

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 19,88 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

4 000·1,06³ = 4 764,06

4 500·1,06² = 5 056,20

5 500·1,06¹ = 5 830,00

5 000·1,06⁰ = 5 000,00

TV = 20 650,26

MIRR

MIRR = (20 650,26/10 000)^1/4 − 1 = 19,88%

Antwort

MIRR = 19,88%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 5,996 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,025)⁻¹³ = €725,42

Kupon

C = (1384 − 725,42)/10,98 = €59,96

Kuponsatz

c = 59,96/1000 = 5,996%

Antwort

c = 5,996%

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 8,013 %

Gleichung für die Rendite

€865 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Numerisch lösen

P(8%) = €865,80, P(9%) = €807,47

YTM = 8,013%

Antwort

YTM = 8,013%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 9,234 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·14% + 0,4286·4%·(1 − 0,28) = 9,234%

Antwort

WACC = 9,234%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,387 %

Marktwerte

E = 1 000 000·€43,50 = €43 500 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3% + 1,3·4% = 8,2%

Gewichte

V = €63 900 000, E/V = 0,6808, D/V = 0,3192

WACC

WACC = 0,6808·8,2% + 0,3192·3,5%·(1 − 0,28) = 6,387%

Antwort

WACC = 6,387%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 6500 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 27 − 25 = €2

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (8 000 + 5 000)/2 = 6 500

Antwort

Q = 6 500 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 28,57 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 60 000/12 = 5 000

Sicherheitsabstand

MS = (7 000 − 5 000)/7 000·100 = 28,57%

Antwort

MS = 28,57%

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