Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €8 000 zu einem Nominalzins von 3,6 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 4 Jahren.

PV = €8 0003,6% / 4n = 4

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €8 000 zu 6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €375 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €8 000A = €3756% / 12

N = Raten

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €30 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €14 000, €8 000, €7 000. Die Kapitalkosten betragen 15 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 15%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 8 000CF₃ = 7 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €5 000, €5 000, €5 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 5 000CF₃ = 5 500

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 9 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 2,5% für €1 279 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 9P = €1 279YTM = 2,5%

c = %

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 4% wird in 7 Jahren fällig und kostet €865. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4%n = 7P = €865

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €6 000 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 11%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3% und der Steuersatz 28%. Bestimme den WACC.

E = €6 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,5 ein Beta von 1,4. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 0,6 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 25%, der risikolose Zinssatz 1% und die Marktrisikoprämie 5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,5D/E₂ = 0,6T = 25%r_f = 1%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Unternehmen verkauft 6 000 Stück zu je €22. Die variablen Kosten betragen €12 pro Stück und die Fixkosten €20 000. Bestimme den Operating Leverage (Grad der operativen Hebelwirkung) DOL bei diesem Absatz.

Q = 6 000p = €22v = €12F = €20 000

DOL =

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €40 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €30 pro Stück und Fixkosten von €10 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 1 800 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €10 000p = €40v = €30Plan = 1 800

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 9233 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·4 = 16

Endwert

FV = 8 000·(1 + 0,009)¹⁶ = 8 000·1,154 = €9 233,12

Antwort

FV = €9 233,12

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 23 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,005

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0,005/375 = 0,8933

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,8933)/ln(1,005) = 22,62

Auf ganze Raten aufrunden

22 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 23

Antwort

N = 23 Raten

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −7174 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 14 000/1,15 = 12 173,91

CF₂/(1 + 0,15)² = 8 000/1,322 = 6 049,15

CF₃/(1 + 0,15)³ = 7 000/1,521 = 4 602,61

Addieren

NPV = €−7 174,32

Antwort

NPV = €−7 174,32

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 25,11 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(25%) = 16,00

NPV(30%) = −691,85

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 25 + 5·16,00/(16,00 − (−691,85)) = 25,11%

exakt: NPV(25,11%) = 0 → IRR = 25,11%

Antwort

IRR = 25,11%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 6 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,025)⁻⁹ = €800,73

Kupon

C = (1279 − 800,73)/7,971 = €60,00

Kuponsatz

c = 60/1000 = 6%

Antwort

c = 6%

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 6,458 %

Gleichung für die Rendite

€865 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Numerisch lösen

P(6%) = €888,35, P(7%) = €838,32

YTM = 6,458%

Antwort

YTM = 6,458%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,464 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,6·11% + 0,4·3%·(1 − 0,28) = 7,464%

Antwort

WACC = 7,464%

8.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 8,382 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1,4/(1 + 0,75·0,5) = 1,018

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 1,018·(1 + 0,75·0,6) = 1,476

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1% + 1,476·5% = 8,382%

Antwort

r_e = 8,382%

9.Break-even-Analyse

Antwort: DOL = 1,5

Operating Leverage: Fixkosten lassen den Gewinn stärker reagieren als den Umsatz. Der Grad der operativen Hebelwirkung DOL = Deckungsbeitrag/Betriebsergebnis gibt an, dass eine Absatzänderung von 1 % den Gewinn um DOL % ändert. Er ist knapp über der Gewinnschwelle sehr hoch und sinkt mit wachsendem Absatz.

Gesamter Deckungsbeitrag

CM = 6 000·(22 − 12) = €60 000

Betriebsergebnis

Π = 60 000 − 20 000 = €40 000

DOL

DOL = 60 000/40 000 = 1,5

Antwort

DOL = 1,5

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 44,44 %

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 10 000/10 = 1 000

Sicherheitsabstand

MS = (1 800 − 1 000)/1 800·100 = 44,44%

Antwort

MS = 44,44%

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