Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €15 000 in 5 Jahren. Ein Konto bringt 4 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €15 0004% / 4n = 5

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €12 000 zu 3,6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €275 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €12 000A = €2753,6% / 12

N = Raten

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Ein Projekt kostet heute €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 5 jeweils €6 000, €5 000, €7 000, €5 000, €8 500. Die Kapitalkosten betragen 5 %. Nimm an, dass die Zahlungen gleichmäßig über jedes Jahr eingehen. Bestimme die dynamische Amortisationsdauer DPB in Jahren.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 000CF₃ = 7 000CF₄ = 5 000CF₅ = 8 500

DPB = Jahre

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €50 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €31 500, €18 000, €21 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −50 000CF₁ = 31 500CF₂ = 18 000CF₃ = 21 000

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 13 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 6% für €1 089 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 13P = €1 089YTM = 6%

c = %

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe notiert bei €935 mit einer Rendite bis zur Fälligkeit von 6% (jährliche Verzinsung) und einer Macaulay-Duration von 11,4 Jahren. Schätze mit der modifizierten Duration den neuen Kurs P, wenn die Rendite um 100 Basispunkte sinkt.

P₀ = €935y = 6%D = 11,4Δy = −100 bp

P = €

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €3 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 8%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme den WACC.

E = €3 000 000D = €6 000 000r_e = 8%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 1. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 0,75. Der Steuersatz beträgt 28%, der risikolose Zinssatz 2,5% und die Marktrisikoprämie 6%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 1D/E = 0,75T = 28%r_f = 2,5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Unternehmen verkauft 12 000 Stück zu je €20. Die variablen Kosten betragen €8 pro Stück und die Fixkosten €48 000. Bestimme den Operating Leverage (Grad der operativen Hebelwirkung) DOL bei diesem Absatz.

Q = 12 000p = €20v = €8F = €48 000

DOL =

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €38 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €30 pro Stück und Fixkosten von €8 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 1 500 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €8 000p = €38v = €30Plan = 1 500

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 12293 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·5 = 20

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,22 = €12 293,17

Antwort

PV = €12 293,17

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 47 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0,003/275 = 0,8691

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,8691)/ln(1,003) = 46,84

Auf ganze Raten aufrunden

46 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 47

Antwort

N = 47 Raten

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: DPB = 3,9 Jahre

Amortisationsdauer: die Zeit, bis die kumulierten Zahlungsüberschüsse die Anfangsinvestition zurückgezahlt haben. Man nimmt an, dass das Geld gleichmäßig über jedes Jahr eingeht, der letzte Teil ist also ein Bruchteil eines Jahres. Die statische Amortisationsdauer vernachlässigt den Zeitwert des Geldes; die dynamische Amortisationsdauer verwendet stattdessen die abgezinsten Zahlungen.

Abgezinste und kumulierte Zahlungen

Jahr 1: 6 000/1,05 = 5 714,29 → Σ = 5 714,29

Jahr 2: 5 000/1,103 = 4 535,15 → Σ = 10 249,43

Jahr 3: 7 000/1,158 = 6 046,86 → Σ = 16 296,30

Jahr 4: 5 000/1,216 = 4 113,51 → Σ = 20 409,81

Bruchteil des letzten Jahres

DPB = 3 + 3 703,70/4 113,51 = 3,9

Antwort

DPB = 3,9 Jahre

Die dynamische Amortisationsdauer ist immer länger als die statische (3,4 Jahre).

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 21,26 %

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(20%) = 902,78

NPV(25%) = −2 528,00

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 20 + 5·902,78/(902,78 − (−2 528,00)) = 21,32%

exakt: NPV(21,26%) = 0 → IRR = 21,26%

Antwort

IRR = 21,26%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 7,005 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,06)⁻¹³ = €468,84

Kupon

C = (1089 − 468,84)/8,853 = €70,05

Kuponsatz

c = 70,05/1000 = 7,005%

Antwort

c = 7,005%

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1036 €

Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Modifizierte Duration

D_mod = 11,4/1,06 = 10,75

Geschätzte Kursänderung

%ΔP ≈ −10,75·(−0,01) = 10,75%

P ≈ 935·(1 + 0,1075) = €1 035,56

Antwort

P = €1 035,56

Die Duration ist eine lineare Schätzung; bei großen Renditeänderungen macht die Konvexität den tatsächlichen Kurs etwas höher.

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 4,645 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667

WACC

WACC = 0,3333·8% + 0,6667·4%·(1 − 0,258) = 4,645%

Antwort

WACC = 4,645%

8.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 11,74 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 1·(1 + 0,72·0,75) = 1,54

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,54·6% = 11,74%

Antwort

r_e = 11,74%

9.Break-even-Analyse

Antwort: DOL = 1,5

Operating Leverage: Fixkosten lassen den Gewinn stärker reagieren als den Umsatz. Der Grad der operativen Hebelwirkung DOL = Deckungsbeitrag/Betriebsergebnis gibt an, dass eine Absatzänderung von 1 % den Gewinn um DOL % ändert. Er ist knapp über der Gewinnschwelle sehr hoch und sinkt mit wachsendem Absatz.

Gesamter Deckungsbeitrag

CM = 12 000·(20 − 8) = €144 000

Betriebsergebnis

Π = 144 000 − 48 000 = €96 000

DOL

DOL = 144 000/96 000 = 1,5

Antwort

DOL = 1,5

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 33,33 %

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 8 000/8 = 1 000

Sicherheitsabstand

MS = (1 500 − 1 000)/1 500·100 = 33,33%

Antwort

MS = 33,33%

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