Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Du legst €1 000 zu einem Nominalzins von 6 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 10 Jahren.
Ein Darlehen von €250 000 wird über 25 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 5,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.
Ein Projekt kostet heute €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 6 jeweils €8 500, €7 500, €8 000, €8 000, €5 500, €5 000. Die Kapitalkosten betragen 12 %. Nimm an, dass die Zahlungen gleichmäßig über jedes Jahr eingehen. Bestimme die dynamische Amortisationsdauer DPB in Jahren.
Ein Projekt kostet €50 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €36 500, €23 500, €21 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.
Du kaufst eine Anleihe mit 8 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 4%), wenn ihre Rendite bis zur Fälligkeit 9% beträgt. Ein Jahr später, direkt nach Erhalt des ersten Kupons, verkaufst du sie bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 10,5%. Bestimme deine Haltedauerrendite HPR in Prozent.
Eine Anleihe notiert bei €950 mit einer Rendite bis zur Fälligkeit von 6% (jährliche Verzinsung) und einer Macaulay-Duration von 10,5 Jahren. Schätze mit der modifizierten Duration den neuen Kurs P, wenn die Rendite um 100 Basispunkte steigt.
Eine Aktie mit einem Beta von 0,6 hat eine geforderte Rendite von 4,9%. Der risikolose Zinssatz beträgt 1%. Welche erwartete Marktrendite rm folgt aus dem CAPM?
Ein Unternehmen hat Eigenkapital mit einem Marktwert von €6 000 000 und Eigenkapitalkosten von 10%. Sein Fremdkapital besteht aus 8 000 Anleihen (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 7%, 11 Jahre Restlaufzeit), die jeweils bei €1 079 notieren. Der Steuersatz beträgt 25%. Bestimme den WACC, mit der Rendite bis zur Fälligkeit der Anleihen als Fremdkapitalkosten vor Steuern.
Ein Produkt wird für €22 verkauft, bei variablen Kosten von €12 pro Stück. Die Fixkosten betragen €50 000 pro Monat, und der Gewinn wird mit 20 % besteuert. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um nach Steuern €20 000 zu verdienen?
Ein Produkt wird für €57 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €45 pro Stück und Fixkosten von €60 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 6 250 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.
Antwort: FV = 1819 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Antwort: A = 1520 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.
Antwort: DPB = 3,145 Jahre
Amortisationsdauer: die Zeit, bis die kumulierten Zahlungsüberschüsse die Anfangsinvestition zurückgezahlt haben. Man nimmt an, dass das Geld gleichmäßig über jedes Jahr eingeht, der letzte Teil ist also ein Bruchteil eines Jahres. Die statische Amortisationsdauer vernachlässigt den Zeitwert des Geldes; die dynamische Amortisationsdauer verwendet stattdessen die abgezinsten Zahlungen.
Die dynamische Amortisationsdauer ist immer länger als die statische (2,5 Jahre).
Antwort: IRR = 32,78 %
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.
Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.
Antwort: HPR = 0,7516 %
Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.
Antwort: P = 855,9 €
Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Die Duration ist eine lineare Schätzung; bei großen Renditeänderungen macht die Konvexität den tatsächlichen Kurs etwas höher.
Antwort: rm = 7,5 %
Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: re = rf + β·(rm − rf). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).
Antwort: WACC = 6,755 %
Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: re = rf + β·(rm − rf). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).
Antwort: Q = 7500 Stück
Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).
Antwort: MS = 20 %
Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).
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