Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €20 000 in 5 Jahren. Ein Konto bringt 4,8 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €20 0004,8% / 12n = 5

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Eine Hypothek von €250 000 wird über 20 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 4,2 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel ist direkt nach der Rate am Ende von Jahr 15 noch geschuldet? Bestimme die Restschuld B.

P = €250 0004,2% / 12N = 240k = 180

B = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €60 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €19 000, €13 000, €30 000, €18 000. Die Kapitalkosten betragen 5 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 19 000CF₂ = 13 000CF₃ = 30 000CF₄ = 18 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet heute €200 000. Seine Zahlung beträgt €25 500 am Ende von Jahr 1 und wächst um 4 % pro Jahr bis zur letzten Zahlung am Ende von Jahr 7. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €25 500g = 4%n = 7r = 10%

NPV = €

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Du kaufst eine Anleihe mit 10 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 3%), wenn ihre Rendite bis zur Fälligkeit 7% beträgt. Ein Jahr später, direkt nach Erhalt des ersten Kupons, verkaufst du sie bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 8,5%. Bestimme deine Haltedauerrendite HPR in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 10y₀ = 7%y₁ = 8,5%

HPR = %

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 6% wird in 10 Jahren fällig und kostet €1 120. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 10P = €1 120

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €8 000 000 und Fremdkapital im Wert von €1 000 000. Sein WACC beträgt 8,5%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 6% und der Steuersatz 25%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e.

E = €8 000 000D = €1 000 000WACC = 8,5%r_d = 6%T = 25%

r_e = %

8.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 0,6. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 1,5. Der Steuersatz beträgt 25,8%, der risikolose Zinssatz 3,5% und die Marktrisikoprämie 5,5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 0,6D/E = 1,5T = 25,8%r_f = 3,5%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €65 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €45 pro Stück. Die Fixkosten betragen €80 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €5 000 zu erzielen?

F = €80 000p = €65v = €45Gewinn = €5 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Unternehmen verkauft 630 Stück pro Monat zu je €28, mit variablen Kosten von €18 pro Stück und Fixkosten von €5 000 pro Monat. Die variablen Kosten steigen um €4 pro Stück, der Preis bleibt gleich. Wie viele Stück Q müssen jetzt pro Monat verkauft werden, um denselben Gewinn zu halten?

Q = 630p = €28v = €18 → €22F = €5 000

Q = Stück

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 15740 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·5 = 60

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,271 = €15 740,09

Antwort

PV = €15 740,09

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: B = 83289 €

Monatliche Rate

i = 0,0035, N = 240

A = 250 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)⁻²⁴⁰) = €1 541,43

Barwert der verbleibenden Raten

Was noch geschuldet wird, muss genau durch die verbleibenden Raten getilgt werden.

N − k = 240 − 180 = 60

B = 1541·(1 − (1 + 0,0035)⁻⁶⁰)/0,0035 = €83 289,24

Antwort

B = €83 289,24

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 10610 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 19 000/1,05 = 18 095,24

CF₂/(1 + 0,05)² = 13 000/1,103 = 11 791,38

CF₃/(1 + 0,05)³ = 30 000/1,158 = 25 915,13

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 18 000/1,216 = 14 808,64

Addieren

NPV = €10 610,39

Antwort

NPV = €10 610,39

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −61994 €

Barwert der wachsenden Rente

((1,04)/(1,1))⁷ = 0,6753

PV = 25 500/(0,1 − 0,04)·(1 − 0,6753) = 138 005,54

NPV

NPV = 138 005,54 − 200 000 = −€61 994,46

Antwort

NPV = −€61 994,46

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: HPR = −3,561 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kaufpreis

C = €30,00, i = 0,07, N = 10

€30,00·(1 − 0,5083)/0,07 + €1 000·0,5083 = €210,71 + €508,35 = €719,06

Verkaufspreis

C = €30,00, i = 0,085, N = 9

€30,00·(1 − 0,4799)/0,085 + €1 000·0,4799 = €183,57 + €479,88 = €663,45

Haltedauerrendite

HPR = (30 + 663,45 − 719,06)/719,06 = −3,561%

Antwort

HPR = −3,561%

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 4,485 %

Gleichung für die Rendite

€1 120 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Numerisch lösen

P(4%) = €1 162,22, P(5%) = €1 077,22

YTM = 4,485%

Antwort

YTM = 4,485%

7.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 9 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111

Fremdkapitalanteil am WACC

0,1111·6%·(1 − 0,25) = 0,5%

Eigenkapitalkosten

r_e = (8,5% − 0,5%)/0,8889 = 9%

Antwort

r_e = 9%

8.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 10,47 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 0,6·(1 + 0,742·1,5) = 1,268

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,268·5,5% = 10,47%

Antwort

r_e = 10,47%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 4250 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 65 − 45 = €20

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (80 000 + 5 000)/20 = 4 250

Antwort

Q = 4 250 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 1050 Stück

Bisheriger Gewinn

Π = 630·(28 − 18) − 5 000 = €1 300

Neuer Deckungsbeitrag pro Stück

28 − 22 = €6

Stückzahl für denselben Gewinn

Q = (5 000 + 1 300)/6 = 1 050

Antwort

Q = 1 050 Stück

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