Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Kreditkarte berechnet einen nominalen Zinssatz von 22 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Bestimme den effektiven Jahreszins EAR in Prozent.

r = 22%m = 4

EAR = %

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €20 000 wird über 6 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 7,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.

P = €20 0007,2% / 12N = 72

A = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Ein Projekt kostet heute €20 000 und bringt 5 Jahre lang am Ende jedes Jahres €5 500. Die Kapitalkosten betragen 8 %. Nimm an, dass die Zahlungen gleichmäßig über jedes Jahr eingehen. Bestimme die dynamische Amortisationsdauer DPB in Jahren.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 500CF₂ = 5 500CF₃ = 5 500CF₄ = 5 500CF₅ = 5 500

DPB = Jahre

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 2 €13 500, €11 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 500CF₂ = 11 500

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 8 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 5% für €968 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 8P = €968YTM = 5%

c = %

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit 18 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 8%) wird für €1 156 verkauft. Der Emittent kann sie in 5 Jahren zu einem Kündigungskurs von €1 080 kündigen. Bestimme die Rendite bis zur Kündigung YTC in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 8%P = €1 156Kündigungskurs = €1 080Kündigung in 5 Jahre

YTC = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €2 000 000 und Fremdkapital im Wert von €5 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 14%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3% und der Steuersatz 25%. Bestimme den WACC.

E = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 14%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 1 000 000 Aktien zu je €35,50 und 5 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 020. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 3,5% und der Steuersatz 21%. Das Beta der Aktie ist 0,6, der risikofreie Zinssatz 3,5% und die Marktrendite 9,5%. Bestimme den WACC.

β = 0,6r_f = 3,5%r_m = 9,5%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €12 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €8 pro Stück. Die Fixkosten betragen €20 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €5 000 zu erzielen?

F = €20 000p = €12v = €8Gewinn = €5 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Unternehmen verkauft zwei Produkte. Produkt A kostet €11 bei variablen Kosten von €5; Produkt B kostet €35 bei variablen Kosten von €20. Sie werden in einem festen Mix von 3 Stück A auf je 1 Stück B verkauft. Die Fixkosten betragen €19 800 pro Monat. Bestimme die Gesamtzahl der Stück Q (A und B zusammen), die für die Gewinnschwelle nötig sind.

p_A = €11, v_A = €5p_B = €35, v_B = €20A : B = 3 : 1F = €19 800

Q = Stück

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: EAR = 23,88 %

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz pro Periode

r/m = 0,22/4 = 0,055

Über ein Jahr aufzinsen

EAR = (1 + 0,055)⁴ − 1 = 1,239 − 1 = 23,88%

Antwort

EAR = 23,88%

Der effektive Jahreszins liegt immer über dem Nominalzins, wenn die Zinsen mehr als einmal im Jahr gutgeschrieben werden.

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 342,9 €

Monatszins und Anzahl der Raten

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·6 = 72

Rate

Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.

(1 + i)^−N = 0,65

A = 20 000·0,006/(1 − 0,65) = €342,90

Antwort

A = €342,90

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: DPB = 4,476 Jahre

Amortisationsdauer: die Zeit, bis die kumulierten Zahlungsüberschüsse die Anfangsinvestition zurückgezahlt haben. Man nimmt an, dass das Geld gleichmäßig über jedes Jahr eingeht, der letzte Teil ist also ein Bruchteil eines Jahres. Die statische Amortisationsdauer vernachlässigt den Zeitwert des Geldes; die dynamische Amortisationsdauer verwendet stattdessen die abgezinsten Zahlungen.

Abgezinste und kumulierte Zahlungen

Jahr 1: 5 500/1,08 = 5 092,59 → Σ = 5 092,59

Jahr 2: 5 500/1,166 = 4 715,36 → Σ = 9 807,96

Jahr 3: 5 500/1,26 = 4 366,08 → Σ = 14 174,03

Jahr 4: 5 500/1,36 = 4 042,66 → Σ = 18 216,70

Jahr 5: 5 500/1,469 = 3 743,21 → Σ = 21 959,91

Bruchteil des letzten Jahres

DPB = 4 + 1 783,30/3 743,21 = 4,476

Antwort

DPB = 4,476 Jahre

Die dynamische Amortisationsdauer ist immer länger als die statische (3,636 Jahre).

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 16,75 %

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(15%) = 434,78

NPV(20%) = −763,89

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 15 + 5·434,78/(434,78 − (−763,89)) = 16,81%

exakt: NPV(16,75%) = 0 → IRR = 16,75%

Antwort

IRR = 16,75%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 4,505 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,05)⁻⁸ = €676,84

Kupon

C = (968 − 676,84)/6,463 = €45,05

Kuponsatz

c = 45,05/1000 = 4,505%

Antwort

c = 4,505%

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTC = 5,748 %

Gleichung für die Rendite

1156 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1080/(1 + y)⁵

Numerisch lösen

y = 5%: €1 192,57

y = 6%: €1 144,03

YTC = 5,748%

Antwort

YTC = 5,748%

Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 6,504%. Anleger in einer Anleihe über pari rechnen mit einer Kündigung, daher ist die niedrigere Rendite bis zur Kündigung die realistischere.

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,607 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €7 000 000, E/V = 0,2857, D/V = 0,7143

WACC

WACC = 0,2857·14% + 0,7143·3%·(1 − 0,25) = 5,607%

Antwort

WACC = 5,607%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,555 %

Marktwerte

E = 1 000 000·€35,50 = €35 500 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,6·6% = 7,1%

Gewichte

V = €40 600 000, E/V = 0,8744, D/V = 0,1256

WACC

WACC = 0,8744·7,1% + 0,1256·3,5%·(1 − 0,21) = 6,555%

Antwort

WACC = 6,555%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 6250 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 12 − 8 = €4

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (20 000 + 5 000)/4 = 6 250

Antwort

Q = 6 250 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 2400 Stück

Gewinnschwelle bei einem Absatzmix: Werden Produkte in einem festen Verhältnis verkauft, verwende den gewichteten mittleren Deckungsbeitrag: Gewichte p − v jedes Produkts mit seinem Anteil an der Stückzahl. Stückzahl an der Gewinnschwelle = F/(gewichteter Deckungsbeitrag), wieder im Mixverhältnis aufgeteilt.

Deckungsbeiträge

cm_A = €6, cm_B = €15

Gewichteter Deckungsbeitrag

(3·6 + 1·15)/4 = €8,25

Stückzahl an der Gewinnschwelle

Q = 19 800/8,25 = 2 400

A: 1 800, B: 600

Antwort

Q = 2 400 Stück

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