Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €1 000 zu einem Nominalzins von 3 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 4 Jahren.

PV = €1 0003% / 12n = 4

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €15 000 zu 3 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €250 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €15 000A = €2503% / 12

N = Raten

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €18 000, €22 000, €21 000, €15 000. Die Kapitalkosten betragen 12 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 12%CF₀ = −45 000CF₁ = 18 000CF₂ = 22 000CF₃ = 21 000CF₄ = 15 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Eine Investition von €20 000 bringt 5 Jahre lang am Ende jedes Jahres €5 000. Bestimme ihren internen Zinsfuß IRR in Prozent.

C₀ = €20 000CF = €5 000n = 5

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 6% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 11 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 2,5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 6%YTM = 2,5%n = 11

P = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 7% wird in 9 Jahren fällig und kostet €1 105. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 7%n = 9P = €1 105

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat einen Verschuldungsgrad (zu Marktwerten) von D/E = 0,4. Seine Eigenkapitalkosten betragen 11%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 6% und der Steuersatz 28%. Bestimme den WACC.

D/E = 0,4r_e = 11%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 1 000 000 Aktien zu je €56,50 und 10 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 050. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 6% und der Steuersatz 21%. Das Beta der Aktie ist 1,2, der risikofreie Zinssatz 1,5% und die Marktrendite 8,5%. Bestimme den WACC.

β = 1,2r_f = 1,5%r_m = 8,5%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Unternehmen verkauft 12 500 Stück zu je €48. Die variablen Kosten betragen €45 pro Stück und die Fixkosten €15 000. Bestimme den Operating Leverage (Grad der operativen Hebelwirkung) DOL bei diesem Absatz.

Q = 12 500p = €48v = €45F = €15 000

DOL =

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €30 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €20 pro Stück und Fixkosten von €50 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 7 500 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €50 000p = €30v = €20Plan = 7 500

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 1127 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·4 = 48

Endwert

FV = 1 000·(1 + 0,0025)⁴⁸ = 1 000·1,127 = €1 127,33

Antwort

FV = €1 127,33

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 66 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,0025

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0,0025/250 = 0,85

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,85)/ln(1,002) = 65,09

Auf ganze Raten aufrunden

65 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 66

Antwort

N = 66 Raten

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 13090 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 18 000/1,12 = 16 071,43

CF₂/(1 + 0,12)² = 22 000/1,254 = 17 538,27

CF₃/(1 + 0,12)³ = 21 000/1,405 = 14 947,39

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 15 000/1,574 = 9 532,77

Addieren

NPV = €13 089,85

Antwort

NPV = €13 089,85

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 7,931 %

Erforderlicher Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 20 000/5 000 = 4

Nach dem Zinssatz auflösen

Der Rentenbarwertfaktor sinkt, wenn der Zinssatz steigt; schließe den Zinssatz ein und grenze ihn ein.

i = 7%: 4,1

i = 8%: 3,993

IRR = 7,931%

Antwort

IRR = 7,931%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1335 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €30,00, i = 0,0125, N = 22

Barwert der Kupons

€30,00·(1 − 0,7609)/0,0125 = €573,92

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7609 = €760,87

Kurs

P = €1 334,78

Antwort

P = €1 334,78

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 5,49 %

Gleichung für die Rendite

€1 105 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Numerisch lösen

P(5%) = €1 142,16, P(6%) = €1 068,02

YTM = 5,49%

Antwort

YTM = 5,49%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 9,091 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte aus D/E

E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143

D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·11% + 0,2857·6%·(1 − 0,28) = 9,091%

Antwort

WACC = 9,091%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 9,091 %

Marktwerte

E = 1 000 000·€56,50 = €56 500 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,2·7% = 9,9%

Gewichte

V = €67 000 000, E/V = 0,8433, D/V = 0,1567

WACC

WACC = 0,8433·9,9% + 0,1567·6%·(1 − 0,21) = 9,091%

Antwort

WACC = 9,091%

9.Break-even-Analyse

Antwort: DOL = 1,667

Operating Leverage: Fixkosten lassen den Gewinn stärker reagieren als den Umsatz. Der Grad der operativen Hebelwirkung DOL = Deckungsbeitrag/Betriebsergebnis gibt an, dass eine Absatzänderung von 1 % den Gewinn um DOL % ändert. Er ist knapp über der Gewinnschwelle sehr hoch und sinkt mit wachsendem Absatz.

Gesamter Deckungsbeitrag

CM = 12 500·(48 − 45) = €37 500

Betriebsergebnis

Π = 37 500 − 15 000 = €22 500

DOL

DOL = 37 500/22 500 = 1,667

Antwort

DOL = 1,667

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 33,33 %

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 50 000/10 = 5 000

Sicherheitsabstand

MS = (7 500 − 5 000)/7 500·100 = 33,33%

Antwort

MS = 33,33%

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