Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €50 000 in 3 Jahren. Ein Konto bringt 3 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €50 0003% / 12n = 3

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 22 Jahre lang am Ende jedes Monats €150. Das Konto bringt 3 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €1503% / 12N = 264

FV = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €20 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €5 000, €5 000, €9 000. Die Kapitalkosten betragen 7,000000000000001 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 5 000CF₃ = 9 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €40 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €18 000, €18 000, €16 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −40 000CF₁ = 18 000CF₂ = 18 000CF₃ = 16 500

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 2% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 6 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 6% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 2%YTM = 6%n = 6

P = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 7% wird in 8 Jahren fällig und kostet €945. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 7%n = 8P = €945

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €10 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 13%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme den WACC.

E = €10 000 000D = €3 000 000r_e = 13%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 1. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 0,5. Der Steuersatz beträgt 20%, der risikolose Zinssatz 2,5% und die Marktrisikoprämie 6%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 1D/E = 0,5T = 20%r_f = 2,5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €50 verkauft, bei variablen Kosten von €30 pro Stück. Die Fixkosten betragen €10 000 pro Monat, und der Gewinn wird mit 20 % besteuert. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um nach Steuern €4 000 zu verdienen?

p = €50v = €30F = €10 000T = 20%Gewinn nach Steuern = €4 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €38 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €30 pro Stück und Fixkosten von €6 400 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 1 120 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €6 400p = €38v = €30Plan = 1 120

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 45702 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·3 = 36

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,094 = €45 701,69

Antwort

PV = €45 701,69

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 55992 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·22 = 264

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1,933 − 1)/0,0025 = €55 991,97

Antwort

FV = €55 991,97

Du hast selbst €39 600 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −3613 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 5 000/1,07 = 4 672,90

CF₂/(1 + 0,07)² = 5 000/1,145 = 4 367,19

CF₃/(1 + 0,07)³ = 9 000/1,225 = 7 346,68

Addieren

NPV = €−3 613,23

Antwort

NPV = €−3 613,23

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 15,17 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(15%) = 111,78

NPV(20%) = −2 951,39

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 15 + 5·111,78/(111,78 − (−2 951,39)) = 15,18%

exakt: NPV(15,17%) = 0 → IRR = 15,17%

Antwort

IRR = 15,17%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 800,9 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €10,00, i = 0,03, N = 12

Barwert der Kupons

€10,00·(1 − 0,7014)/0,03 = €99,54

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7014 = €701,38

Kurs

P = €800,92

Antwort

P = €800,92

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 7,955 %

Gleichung für die Rendite

€945 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Numerisch lösen

P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €942,53

YTM = 7,955%

Antwort

YTM = 7,955%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,77 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·13% + 0,2308·4,5%·(1 − 0,258) = 10,77%

Antwort

WACC = 10,77%

8.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 10,9 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 1·(1 + 0,8·0,5) = 1,4

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,4·6% = 10,9%

Antwort

r_e = 10,9%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 750 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Nötiger Gewinn vor Steuern

4 000/(1 − 0,2) = €5 000

Benötigte Stückzahl

Q = (10 000 + 5 000)/20 = 750

Antwort

Q = 750 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 28,57 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 6 400/8 = 800

Sicherheitsabstand

MS = (1 120 − 800)/1 120·100 = 28,57%

Antwort

MS = 28,57%

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