Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viel Stack-Speicher braucht eine einfache rekursive Fakultätsfunktion fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Zeitkomplexität hat der Aufbau eines binären Heaps aus n unsortierten Elementen mit der Bottom-up-Methode?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
3.DatenstrukturenMittel

Wozu dient ein Sentinel-Knoten (Dummy-Knoten) in einer verketteten Liste?

  1. AEr vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen
  2. BUm zu verhindern, dass die Liste über eine feste Höchstzahl von Knoten hinauswächst
  3. CEr hält die Liste sortiert
  4. DEr speichert die Anzahl der Elemente
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Eigenschaft hält jeden B-Baum perfekt balanciert?

  1. ADie Schlüssel werden nur in der Wurzel gespeichert
  2. BJeder Knoten hat genau zwei Kinder
  3. CAlle Blätter liegen in derselben Tiefe
  4. DJeder Knoten speichert einen Schlüssel
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
2891016137ABCDE

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n)

Warum das die Antwort ist

Die Rekursion ist n Aufrufe tief, bevor einer zurückkehrt, und jeder Aufruf braucht einen Stackframe, also beträgt der Speicherbedarf O(n).

Antwort

A · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n)

Warum das die Antwort ist

Summiert man die Kosten des Absinkens (Sift-down) über alle Ebenen, erhält man eine konvergente Reihe, daher läuft Heapify in linearer Zeit.

Antwort

B · O(n)
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen

Warum das die Antwort ist

Mit einem Sentinel hat jeder echte Knoten einen Vorgänger, daher braucht Einfügen oder Löschen am Kopf keine Sonderbehandlung.

Antwort

A · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Alle Blätter liegen in derselben Tiefe

Warum das die Antwort ist

Volle Knoten teilen sich nach oben, und der Baum wird nur höher, wenn sich die Wurzel teilt, daher bleiben alle Blätter immer auf derselben Ebene.

Antwort

C · Alle Blätter liegen in derselben Tiefe
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Ungerade Knoten

A, B, C, D, E, F → 6
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: W = 27

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

AB (2): nehmen
BE (7): nehmen
AC (8): nehmen
BC (9): überspringen, schließt einen Kreis
BD (10): nehmen

Gesamtgewicht

W = 2 + 7 + 8 + 10 = 27

Antwort

W = 27

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