Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Quicksort verwendet immer das erste Element als Pivot. Bei welcher Eingabe zeigt es sein Worst-Case-Verhalten?

  1. ABei einem Array in zufälliger Reihenfolge
  2. BBei einem Array der Länge 2
  3. CBei einem Array, dessen Elemente alle verschieden sind
  4. DBei einem bereits sortierten Array
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welcher Algorithmus findet einen minimalen Spannbaum, indem er wiederholt die günstigste Kante hinzufügt, die keinen Zyklus bildet?

  1. AFloyd-Warshall
  2. BDijkstra-Algorithmus
  3. CPrim-Algorithmus, ausgehend von einem Knoten
  4. DKruskal-Algorithmus
3.DatenstrukturenMittel

Welche Datenstruktur nutzt ein laufendes Programm, um aktive Funktionsaufrufe und ihre lokalen Variablen zu verwalten?

  1. ADie Heap-Speicher-Queue
  2. BEine Hashtabelle der Funktionen
  3. CDen Aufrufstack (Call Stack)
  4. DEinen binären Suchbaum der Frames
4.DatenstrukturenSchwer

Ein AVL-Knoten ist unbalanciert, weil der rechte Teilbaum seines linken Kindes zu hoch wurde (Links-rechts-Fall). Welche Korrektur wird angewendet?

  1. AEine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
  2. BEine einfache Linksrotation am Knoten
  3. CEine Rechtsrotation am linken Kind, dann eine Linksrotation am Knoten
  4. DEine einfache Rechtsrotation am Knoten
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 2 Knoten vom Grad 3, 3 Knoten vom Grad 4, 2 Knoten vom Grad 5, 2 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

2 × deg 33 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
271165133812865ABCDEFG

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 3 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Bei einem bereits sortierten Array

Warum das die Antwort ist

Bei sortierter Eingabe ist das Pivot immer das Minimum, sodass eine Seite leer ist und die andere n − 1 Elemente hat; das ergibt O(n²).

Antwort

D · Bei einem bereits sortierten Array
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Kruskal-Algorithmus

Warum das die Antwort ist

Kruskal sortiert die Kanten nach Gewicht und fügt sie hinzu, wenn sie verschiedene Komponenten verbinden; Prim lässt einen einzigen Baum von einem Startknoten aus wachsen.

Antwort

D · Kruskal-Algorithmus
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Den Aufrufstack (Call Stack)

Warum das die Antwort ist

Jeder Aufruf legt einen Stackframe ab und jede Rückkehr entfernt ihn, deshalb endet der jüngste Aufruf zuerst.

Antwort

C · Den Aufrufstack (Call Stack)
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Eine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten

Warum das die Antwort ist

Die erste Rotation verwandelt den Links-rechts-Fall in einen Links-links-Fall, den dann eine Rechtsrotation am unbalancierten Knoten behebt.

Antwort

A · Eine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
5.Graphentheorie

Antwort: L = 16

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 32 = 2(L + 9) − 2
L = 16

Antwort

L = 16

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: C

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 2, C: 7
2. B (2): D: 8, G: 14
3. C (7): E: 12
4. D (8): F: 11
5. F (11)
6. E (12)
7. G (14)

Runde 3

C

Antwort

C

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