Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Du sortierst ein Array mit n Elementen einmal und beantwortest danach k Enthaltenseinsanfragen mit binärer Suche. Wie hoch sind die Gesamtkosten?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(nk)
  4. DO(n + k)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Aussage über die Auswahl des k-kleinsten Elements eines unsortierten Arrays ist richtig?

  1. AQuickselect läuft erwartet in O(n), und Median-of-Medians garantiert O(n) im Worst Case
  2. BQuickselect läuft im Worst Case in O(log n), weil es nur auf einer Seite des Pivots rekursiv weitermacht
  3. CDie Auswahl ist nur in O(n²) möglich
  4. DDie Auswahl braucht immer Ω(n log n), weil sie Sortieren erfordert
3.DatenstrukturenMittel

Wie findest du den kleinsten Schlüssel in einem binären Suchbaum?

  1. AVon der Wurzel aus den rechten Kindern folgen, bis es kein rechtes Kind mehr gibt
  2. BJedes Blatt besuchen und vergleichen
  3. CVon der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt
  4. DNur die Wurzel ansehen
4.DatenstrukturenSchwer

Im BST mit Wurzel 50, linkem Teilbaum 30 (Kinder 20, 40) und rechtem Teilbaum 70 (Kinder 60, 80) wird die Wurzel mithilfe des In-Order-Nachfolgers gelöscht. Welcher Schlüssel wird die neue Wurzel?

  1. A70
  2. B80
  3. C60
  4. D40
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K8? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K8
H =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDE

Wie viele Wege der Länge 3 führen von B nach A? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 3
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n log n + k log n)

Warum das die Antwort ist

Das Sortieren kostet O(n log n) und jede Anfrage O(log n); das schlägt k lineare Durchläufe (O(nk)), wenn k groß ist.

Antwort

A · O(n log n + k log n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Quickselect läuft erwartet in O(n), und Median-of-Medians garantiert O(n) im Worst Case

Warum das die Antwort ist

Der erwartete Aufwand von Quickselect ist mit zufälligen Pivots n + n/2 + n/4 + ... = O(n); wählt man das Pivot als Median der Mediane, wird der Worst Case linear.

Antwort

A · Quickselect läuft erwartet in O(n), und Median-of-Medians garantiert O(n) im Worst Case
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Von der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt

Warum das die Antwort ist

Zum linkesten Knoten gibt es keinen kleineren Schlüssel im Baum, also ist er das Minimum; die Kosten sind proportional zur Höhe.

Antwort

C · Von der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt
4.Datenstrukturen

Antwort: C · 60

Warum das die Antwort ist

Der linkeste Knoten des rechten Teilbaums ist 60, also ersetzt 60 die 50 und seine alte Position wird entfernt; mit dem Vorgänger ergäbe sich 40.

Antwort

C · 60
5.Graphentheorie

Antwort: H = 2520

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Antwort

H = 2520
6.Graphentheorie

Antwort: N = 6

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Ein weiterer Schritt

(M³)BA = 1·0 + 4·1 + 2·1 + 1·0 + 2·0 = 6

Antwort

N = 6

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