Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

In einem sortierten Array suchst du zwei Elemente mit einer Zielsumme, indem du von jedem Ende einen Zeiger nach innen bewegst. Welche Zeitkomplexität hat das?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Definition der Klasse P ist richtig?

  1. AProbleme, die parallel gelöst werden können
  2. BProbleme, deren Lösungen in polynomieller Zeit geprüft, aber nie gefunden werden können
  3. CEntscheidungsprobleme, die ein deterministischer Algorithmus in polynomieller Zeit löst
  4. DProbleme, die auf jedem Computer exponentielle Zeit brauchen
3.DatenstrukturenMittel

AVL-Bäume und Rot-Schwarz-Bäume garantieren:

  1. ASuche in konstanter Zeit in jedem Fall
  2. BEine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung
  3. CDass die Schlüssel in Einfügereihenfolge gespeichert werden
  4. DDass kein Knoten zwei Kindknoten hat
4.DatenstrukturenSchwer

Was macht ein Splay-Baum nach jedem Zugriff?

  1. AEr verschiebt den zugegriffenen Knoten zu einem Blatt
  2. BEr färbt die Knoten auf dem Suchpfad um
  3. CEr rotiert den zugegriffenen Knoten bis zur Wurzel hoch
  4. DEr baut den ganzen Baum in balancierter Form neu auf
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
672911101217ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n)

Warum das die Antwort ist

Ist die Summe zu klein, rückt der linke Zeiger nach rechts, ist sie zu groß, rückt der rechte Zeiger nach links; es gibt also höchstens n Schritte.

Antwort

A · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Entscheidungsprobleme, die ein deterministischer Algorithmus in polynomieller Zeit löst

Warum das die Antwort ist

P enthält Entscheidungsprobleme mit einem deterministischen Polynomialzeitalgorithmus, etwa die Prüfung, ob ein Graph zusammenhängend ist.

Antwort

C · Entscheidungsprobleme, die ein deterministischer Algorithmus in polynomieller Zeit löst
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Eine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung

Warum das die Antwort ist

Selbstbalancierende Bäume halten die Höhe logarithmisch, sodass Suchen, Einfügen und Löschen im schlechtesten Fall O(log n) kosten.

Antwort

B · Eine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Er rotiert den zugegriffenen Knoten bis zur Wurzel hoch

Warum das die Antwort ist

Splaying bringt den zugegriffenen Knoten durch Rotationen in die Wurzel; eine einzelne Operation kann O(n) kosten, aber die amortisierten Kosten betragen O(log n).

Antwort

C · Er rotiert den zugegriffenen Knoten bis zur Wurzel hoch
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Ungerade Knoten

B, C, D, F → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 19

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 6, C: 7
B (6): D: 8, G: 18
C (7): E: 16, G: 8
D (8): F: 19
G (8)
E (16)
F (19)

Kürzester Weg

A → B → D → F
d(F) = 19

Antwort

d(F) = 19

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