Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Quicksort verwendet immer das erste Element als Pivot. Bei welcher Eingabe zeigt es sein Worst-Case-Verhalten?

  1. ABei einem bereits sortierten Array
  2. BBei einem Array, dessen Elemente alle verschieden sind
  3. CBei einem Array der Länge 2
  4. DBei einem Array in zufälliger Reihenfolge
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Eine topologische Sortierung ist nur möglich für:

  1. AUngerichtete Graphen
  2. BGraphen mit negativen Gewichten
  3. CGerichtete azyklische Graphen (DAG)
  4. DVollständige Graphen
3.DatenstrukturenMittel

Wie lange dauert es, mit einer Adjazenzmatrix zu prüfen, ob die Kante (u, v) existiert?

  1. AO(E)
  2. BO(V)
  3. CO(1)
  4. DO(log V)
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Garantie geben die Regeln eines Rot-Schwarz-Baums für die Höhe eines Baums mit n Schlüsseln?

  1. ADie Höhe beträgt höchstens 2 log2(n + 1)
  2. BDie Höhe beträgt höchstens log2 n + 1
  3. CDie Höhe beträgt höchstens n / 2
  4. DDie Höhe beträgt genau log2 n
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 11 Knoten und 12 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 11|E| = 12
k =
6.GraphentheorieSchwer
1249113151021815ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Bei einem bereits sortierten Array

Warum das die Antwort ist

Bei sortierter Eingabe ist das Pivot immer das Minimum, sodass eine Seite leer ist und die andere n − 1 Elemente hat; das ergibt O(n²).

Antwort

A · Bei einem bereits sortierten Array
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Gerichtete azyklische Graphen (DAG)

Warum das die Antwort ist

Eine topologische Ordnung existiert genau dann, wenn der gerichtete Graph keine Zyklen hat; sie lässt sich in O(V + E) mit DFS oder dem Kahn-Algorithmus finden.

Antwort

C · Gerichtete azyklische Graphen (DAG)
3.Datenstrukturen

Antwort: C · O(1)

Warum das die Antwort ist

Der Matrixeintrag in Zeile u, Spalte v zeigt sofort, ob die Kante existiert; eine Adjazenzliste muss eventuell die Nachbarn von u durchsuchen.

Antwort

C · O(1)
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Die Höhe beträgt höchstens 2 log2(n + 1)

Warum das die Antwort ist

Jeder Pfad hat gleich viele schwarze Knoten, und rote Knoten dürfen nicht benachbart sein, daher ist der längste Pfad höchstens doppelt so lang wie der kürzeste, was eine Höhe von O(log n) ergibt.

Antwort

A · Die Höhe beträgt höchstens 2 log2(n + 1)
5.Graphentheorie

Antwort: k = 2

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

11 − 1 = 10

Zu entfernende Kanten

k = 12 − 10 = 2

Antwort

k = 2
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 23

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 12, C: 4
C (4): G: 5
G (5): B: 7, D: 13, E: 20
B (7): D: 8
D (8): F: 23
E (20)
F (23)

Kürzester Weg

A → C → G → B → D → F
d(F) = 23

Antwort

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms