Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

In einem sortierten Array suchst du zwei Elemente mit einer Zielsumme, indem du von jedem Ende einen Zeiger nach innen bewegst. Welche Zeitkomplexität hat das?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was würde folgen, wenn jemand einen Polynomialzeitalgorithmus für ein NP-vollständiges Problem fände?

  1. AJedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
  2. BAlle Algorithmen mit exponentieller Laufzeit würden sofort in linearer Zeit laufen
  3. CNur dieses eine Problem würde nach P wandern
  4. DDas Halteproblem würde entscheidbar
3.DatenstrukturenMittel

Eine Queue wird mit zwei Stacks implementiert: push auf einen „in“-Stack und pop von einem „out“-Stack, der aus „in“ nachgefüllt wird, wenn er leer ist. Wie hoch sind die amortisierten Kosten pro Operation?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
4.DatenstrukturenSchwer

Warum wird in einer Hashtabelle mit offener Adressierung beim Löschen oft eine „Tombstone“-Markierung verwendet?

  1. ADadurch wird die Tabelle sortiert
  2. BDas Leeren des Platzes könnte die Sondierungsfolge für andere Schlüssel unterbrechen
  3. CGelöschte Schlüssel müssen aus Sicherheitsgründen für immer aufbewahrt werden, sodass Plätze nie wiederverwendet werden können
  4. DTombstones beschleunigen das Hashing
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 20 Knoten und 25 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 20|E| = 25
k =
6.GraphentheorieSchwer
14810710695ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 5 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n)

Warum das die Antwort ist

Ist die Summe zu klein, rückt der linke Zeiger nach rechts, ist sie zu groß, rückt der rechte Zeiger nach links; es gibt also höchstens n Schritte.

Antwort

A · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP

Warum das die Antwort ist

Da sich ganz NP in polynomieller Zeit auf jedes NP-vollständige Problem reduzieren lässt, liefert ein schneller Algorithmus für eines einen schnellen Algorithmus für alle.

Antwort

A · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
3.Datenstrukturen

Antwort: A · O(1)

Warum das die Antwort ist

Jedes Element wird insgesamt höchstens zweimal abgelegt und entnommen; obwohl ein einzelnes Nachfüllen O(n) dauern kann, ist der Durchschnitt über eine Folge O(1).

Antwort

A · O(1)
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Das Leeren des Platzes könnte die Sondierungsfolge für andere Schlüssel unterbrechen

Warum das die Antwort ist

Würde ein gelöschter Platz leer, könnten spätere Suchen zu früh abbrechen und Schlüssel übersehen, die weiter hinten in der Sondierungskette abgelegt wurden.

Antwort

B · Das Leeren des Platzes könnte die Sondierungsfolge für andere Schlüssel unterbrechen
5.Graphentheorie

Antwort: k = 6

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

20 − 1 = 19

Zu entfernende Kanten

k = 25 − 19 = 6

Antwort

k = 6
6.Graphentheorie

Antwort: F

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 14, C: 8
2. C (8): E: 15
3. B (14)
4. E (15): D: 25, F: 24
5. F (24)
6. D (25)

Runde 5

F

Antwort

F

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