Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was misst die amortisierte Analyse?

  1. ADie erwarteten Kosten über zufällige Eingaben
  2. BDie Kosten eines Algorithmus bei der besten Eingabe
  3. CDie Kosten der einzelnen teuersten Operation irgendwo in der Folge
  4. DDie durchschnittlichen Kosten pro Operation über eine Worst-Case-Folge von Operationen
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche zwei Dinge müssen gezeigt werden, um zu beweisen, dass ein Entscheidungsproblem X NP-vollständig ist?

  1. AX lässt sich auf ein Problem in P reduzieren, und X liegt in NP
  2. BX hat keinen polynomiellen Algorithmus, und X ist entscheidbar
  3. CX liegt in P, und X lässt sich auf SAT reduzieren
  4. DX liegt in NP, und ein bekanntes NP-vollständiges Problem lässt sich in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.DatenstrukturenMittel

Ein Straßennetz hat 100,000 Kreuzungen, die jeweils mit etwa 4 anderen verbunden sind. Welche Darstellung ist am besten geeignet?

  1. AAdjazenzmatrix
  2. BEin einziges sortiertes Array der Knoten
  3. CEin binärer Heap der Kanten
  4. DAdjazenzliste
4.DatenstrukturenSchwer

Durch das Einfügen eines Schlüssels in einen AVL-Baum wird der linke Teilbaum eines Knotens zu hoch, und der neue Schlüssel landete im linken Teilbaum seines linken Kindes (Links-links-Fall). Welche Korrektur wird angewendet?

  1. AEine einfache Rechtsrotation am unbalancierten Knoten
  2. BEine einfache Linksrotation am unbalancierten Knoten
  3. CUmfärben des Knotens und seines Kindes
  4. DEine Linksrotation am Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 11 Knoten und 14 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 11|E| = 14
k =
6.GraphentheorieSchwer
686815147111454ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Die durchschnittlichen Kosten pro Operation über eine Worst-Case-Folge von Operationen

Warum das die Antwort ist

Die amortisierte Analyse verteilt die Kosten seltener teurer Operationen auf viele billige und liefert so einen garantierten Durchschnitt für jede Folge.

Antwort

D · Die durchschnittlichen Kosten pro Operation über eine Worst-Case-Folge von Operationen
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · X liegt in NP, und ein bekanntes NP-vollständiges Problem lässt sich in polynomieller Zeit auf X reduzieren

Warum das die Antwort ist

Die Zugehörigkeit zu NP zeigt, dass X nicht schwerer als NP ist; die Reduktion von einem bekannten NP-vollständigen Problem zeigt, dass X mindestens so schwer ist wie ganz NP.

Antwort

D · X liegt in NP, und ein bekanntes NP-vollständiges Problem lässt sich in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Adjazenzliste

Warum das die Antwort ist

Eine Matrix bräuchte 1010 Zellen, fast alle leer; eine Adjazenzliste speichert nur die rund 400,000 Kanteneinträge.

Antwort

D · Adjazenzliste
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Eine einfache Rechtsrotation am unbalancierten Knoten

Warum das die Antwort ist

Im Links-links-Fall hebt eine Rechtsrotation das linke Kind nach oben und stellt die Balance wieder her; Zickzack-Fälle brauchen eine Doppelrotation.

Antwort

A · Eine einfache Rechtsrotation am unbalancierten Knoten
5.Graphentheorie

Antwort: k = 4

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

11 − 1 = 10

Zu entfernende Kanten

k = 14 − 10 = 4

Antwort

k = 4
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 23

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 6, C: 8
B (6): D: 12, G: 17
C (8): E: 16
D (12): F: 26
E (16): F: 23
G (17)
F (23)

Kürzester Weg

A → C → E → F
d(F) = 23

Antwort

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms