Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welcher Algorithmus findet die kürzesten Wege von einem Startknoten in einem Graphen mit nichtnegativen Kantengewichten?

  1. ABellman-Ford ist in allen Fällen erforderlich
  2. BKruskal-Algorithmus
  3. CTiefensuche (DFS)
  4. DDijkstra-Algorithmus
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Ein Problem ist NP-vollständig, wenn es:

  1. AUnmöglich zu lösen ist
  2. BIn NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
  3. CAußerhalb von NP liegt, aber schwerer als alle NP-Probleme ist, wie das Halteproblem
  4. DIn Polynomialzeit lösbar ist
3.DatenstrukturenMittel

Wie lange dauert die Suche nach einem Wort der Länge L in einem Trie mit festem Alphabet?

  1. AO(L), unabhängig davon, wie viele Wörter gespeichert sind
  2. BO(L × n)
  3. CO(log n), wobei n die Anzahl der Wörter ist
  4. DO(n), wobei n die Anzahl der Wörter ist
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Regel müssen Hash und Gleichheit befolgen, damit eine Hashtabelle korrekt funktioniert?

  1. AVerschiedene Schlüssel müssen verschiedene Hashwerte haben
  2. BGleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben
  3. CHashwerte müssen Primzahlen sein
  4. DGleiche Hashwerte bedeuten gleiche Schlüssel
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
1353191161891217ABCDEFG

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Dijkstra-Algorithmus

Warum das die Antwort ist

Der Dijkstra-Algorithmus funktioniert mit nichtnegativen Gewichten; Bellman-Ford kommt mit negativen Gewichten zurecht; Kruskal baut minimale Spannbäume.

Antwort

D · Dijkstra-Algorithmus
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt

Warum das die Antwort ist

NP-vollständige Probleme sind die schwersten in NP; ein polynomieller Algorithmus für eines davon würde einen für ganz NP liefern.

Antwort

B · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
3.Datenstrukturen

Antwort: A · O(L), unabhängig davon, wie viele Wörter gespeichert sind

Warum das die Antwort ist

Jedes Zeichen wählt ein Kind aus, daher braucht eine Suche L Schritte, egal wie viele Wörter der Trie enthält.

Antwort

A · O(L), unabhängig davon, wie viele Wörter gespeichert sind
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Gleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben

Warum das die Antwort ist

Würden zwei gleiche Schlüssel unterschiedlich gehasht, lägen sie in verschiedenen Buckets und Suchen würden fehlschlagen; ungleiche Schlüssel dürfen sich trotzdem einen Hash teilen.

Antwort

B · Gleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

A, B → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: W = 52

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

CE (1): nehmen
BC (3): nehmen
AC (5): nehmen
GB (9): nehmen
GC (12): überspringen, schließt einen Kreis
AB (13): überspringen, schließt einen Kreis
DF (16): nehmen
GE (17): überspringen, schließt einen Kreis
EF (18): nehmen

Gesamtgewicht

W = 1 + 3 + 5 + 9 + 16 + 18 = 52

Antwort

W = 52

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