Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Bei welcher Variante des Rucksackproblems liefert die Greedy-Regel „Gegenstände nach Wert pro Gewicht nehmen" immer eine optimale Lösung?

  1. ABei keiner der beiden Varianten
  2. BBeim 0/1-Rucksackproblem, bei dem Gegenstände immer ganz genommen werden müssen
  3. CBeim fraktionalen Rucksackproblem, bei dem Gegenstände geteilt werden dürfen
  4. DBei beiden Varianten
3.DatenstrukturenMittel

Wie findest du den kleinsten Schlüssel in einem binären Suchbaum?

  1. AVon der Wurzel aus den rechten Kindern folgen, bis es kein rechtes Kind mehr gibt
  2. BVon der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt
  3. CJedes Blatt besuchen und vergleichen
  4. DNur die Wurzel ansehen
4.DatenstrukturenSchwer

Warum könnte ein Server seine Hashfunktion zufällig aus einer universellen Familie wählen?

  1. ADamit es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein Angreifer viele Schlüssel wählen kann, die alle kollidieren
  2. BDamit die Tabelle nicht mehr vergrößert werden muss
  3. CUm zu garantieren, dass nie zwei Schlüssel kollidieren, welche Schlüssel ein Angreifer auch sendet
  4. DDamit die Hashtabelle sortiert ist
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K4? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K4
H =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei F? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n²)

Warum das die Antwort ist

Der Aufwand summiert sich auf etwa n² / 2; das ist die Rekursionsgleichung von Selectionsort oder von Quicksort mit dem schlechtesten Pivot.

Antwort

D · O(n²)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Beim fraktionalen Rucksackproblem, bei dem Gegenstände geteilt werden dürfen

Warum das die Antwort ist

Dürfen Gegenstände geteilt werden, ist das beste Verhältnis zuerst optimal; beim 0/1-Rucksack kann ein Gegenstand mit hohem Verhältnis eine bessere Kombination blockieren, sodass dynamische Programmierung nötig ist.

Antwort

C · Beim fraktionalen Rucksackproblem, bei dem Gegenstände geteilt werden dürfen
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Von der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt

Warum das die Antwort ist

Zum linkesten Knoten gibt es keinen kleineren Schlüssel im Baum, also ist er das Minimum; die Kosten sind proportional zur Höhe.

Antwort

B · Von der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Damit es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein Angreifer viele Schlüssel wählen kann, die alle kollidieren

Warum das die Antwort ist

Beim universellen Hashing ist die erwartete Anzahl von Kollisionen für jede Schlüsselmenge klein, da der Angreifer nicht weiß, welche Funktion gewählt wurde.

Antwort

A · Damit es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein Angreifer viele Schlüssel wählen kann, die alle kollidieren
5.Graphentheorie

Antwort: H = 3

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Antwort

H = 3
6.Graphentheorie

Antwort: N = 1

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 1

Antwort

N = 1

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