Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma: Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Regulärer Graph: |E| = n·k/2
Baum und Wald: |E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n − 1) + O(n)?

AO(n²)
BO(2ⁿ)
CO(n log n)
DO(n)

2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Nimmt man beide Endpunkte jeder Kante eines maximalen Matchings, erhält man eine Knotenüberdeckung. Wie gut ist diese Überdeckung?

AHöchstens doppelt so groß wie eine minimale Knotenüberdeckung
BHöchstens log n-mal so groß wie das Minimum
CVon unbekannter Güte im Vergleich zum Optimum
DImmer eine minimale Knotenüberdeckung

3.DatenstrukturenMittel

Wie viele Knoten hat ein perfekter Binärbaum der Höhe h, wenn die Höhe in Kanten gezählt wird?

A2^h+1 − 1
B2h + 1
Ch²
D2^h

4.DatenstrukturenSchwer

Welche Garantie geben die Regeln eines Rot-Schwarz-Baums für die Höhe eines Baums mit n Schlüsseln?

ADie Höhe beträgt höchstens 2 log₂(n + 1)
BDie Höhe beträgt höchstens n / 2
CDie Höhe beträgt genau log₂ n
DDie Höhe beträgt höchstens log₂ n + 1

5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K₆? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K₆

H =

6.GraphentheorieSchwer

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(G) des kürzesten Weges von A nach G im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: G

d(G) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n²)

Warum das die Antwort ist

Der Aufwand summiert sich auf etwa n² / 2; das ist die Rekursionsgleichung von Selectionsort oder von Quicksort mit dem schlechtesten Pivot.

Antwort

A · O(n²)

2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Höchstens doppelt so groß wie eine minimale Knotenüberdeckung

Warum das die Antwort ist

Die Matchingkanten haben keine gemeinsamen Knoten, also braucht das Optimum mindestens einen Knoten pro Kante, während diese Methode zwei nimmt: eine 2-Approximation.

Antwort

A · Höchstens doppelt so groß wie eine minimale Knotenüberdeckung

3.Datenstrukturen

Antwort: A · 2^h+1 − 1

Warum das die Antwort ist

Die Summe 1 + 2 + 4 + ... + 2^h ergibt 2^h+1 − 1; zum Beispiel ergibt Höhe 2 genau 7 Knoten.

Antwort

A · 2^h+1 − 1

4.Datenstrukturen

Antwort: A · Die Höhe beträgt höchstens 2 log₂(n + 1)

Warum das die Antwort ist

Jeder Pfad hat gleich viele schwarze Knoten, und rote Knoten dürfen nicht benachbart sein, daher ist der längste Pfad höchstens doppelt so lang wie der kürzeste, was eine Höhe von O(log n) ergibt.

Antwort

A · Die Höhe beträgt höchstens 2 log₂(n + 1)

5.Graphentheorie

Antwort: H = 60

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; K_n hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Antwort

H = 60

6.Graphentheorie

Antwort: d(G) = 22

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): C: 9

C (9): B: 20, E: 19

E (19): F: 34, G: 30

B (20): D: 31, G: 22

G (22): D: 28

D (28): F: 33

F (33)

Kürzester Weg

A → C → B → G

d(G) = 22

Antwort

d(G) = 22

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