Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Warum wird die Basis eines Logarithmus in der Groß-O-Notation meist weggelassen, wie in O(log n)?

  1. ALogarithmen werden immer auf ganze Zahlen gerundet
  2. BAlle Logarithmen in der Informatik haben die Basis 10, die Basis ist also implizit
  3. CLogarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor
  4. DDie Basis spielt nur für kleine n eine Rolle
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was würde folgen, wenn jemand einen Polynomialzeitalgorithmus für ein NP-vollständiges Problem fände?

  1. AAlle Algorithmen mit exponentieller Laufzeit würden sofort in linearer Zeit laufen
  2. BDas Halteproblem würde entscheidbar
  3. CNur dieses eine Problem würde nach P wandern
  4. DJedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
3.DatenstrukturenMittel

Welche Datenstruktur verwendet die Tiefensuche (DFS) in der iterativen Variante?

  1. AEinen Stack
  2. BEine Queue
  3. CNur eine Hashtabelle
  4. DEinen Heap
4.DatenstrukturenSchwer

Wofür wird die Union-Find-Struktur in Kruskals Algorithmus für minimale Spannbäume verwendet?

  1. AUm die Kanten nach Gewicht zu sortieren
  2. BUm zu prüfen, ob die beiden Endpunkte einer Kante bereits verbunden sind
  3. CUm den Startknoten zu wählen
  4. DUm während der Suche die aktuelle Distanz jedes Knotens von der Quelle zu speichern
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K6? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K6
H =
6.GraphentheorieSchwer
5411167149118ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor

Warum das die Antwort ist

Ein Basiswechsel multipliziert den Logarithmus mit einer Konstante, und Groß-O ignoriert konstante Faktoren.

Antwort

C · Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP

Warum das die Antwort ist

Da sich ganz NP in polynomieller Zeit auf jedes NP-vollständige Problem reduzieren lässt, liefert ein schneller Algorithmus für eines einen schnellen Algorithmus für alle.

Antwort

D · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Einen Stack

Warum das die Antwort ist

DFS geht so tief wie möglich und nutzt daher natürlicherweise einen Stack (oder den Aufrufstack der Rekursion); BFS verwendet eine Queue.

Antwort

A · Einen Stack
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Um zu prüfen, ob die beiden Endpunkte einer Kante bereits verbunden sind

Warum das die Antwort ist

Find zeigt, ob beide Endpunkte in derselben Komponente liegen; wenn nicht, wird die Kante hinzugefügt und union verschmilzt die Komponenten.

Antwort

B · Um zu prüfen, ob die beiden Endpunkte einer Kante bereits verbunden sind
5.Graphentheorie

Antwort: H = 60

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Antwort

H = 60
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 28

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 5, C: 4
C (4): G: 13
B (5)
G (13): D: 24, E: 21
E (21): F: 28
D (24)
F (28)

Kürzester Weg

A → C → G → E → F
d(F) = 28

Antwort

d(F) = 28

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