Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Die Breitensuche (BFS) auf einem ungewichteten Graphen findet:

  1. AKürzeste Wege in Graphen mit negativen Kantengewichten
  2. BEine topologische Sortierung in allen Graphen
  3. CDen minimalen Spannbaum
  4. DKürzeste Wege, gemessen in der Anzahl der Kanten vom Startknoten
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Aussage über die Auswahl des k-kleinsten Elements eines unsortierten Arrays ist richtig?

  1. AQuickselect läuft im Worst Case in O(log n), weil es nur auf einer Seite des Pivots rekursiv weitermacht
  2. BDie Auswahl ist nur in O(n²) möglich
  3. CDie Auswahl braucht immer Ω(n log n), weil sie Sortieren erfordert
  4. DQuickselect läuft erwartet in O(n), und Median-of-Medians garantiert O(n) im Worst Case
3.DatenstrukturenMittel

Warum kann ein binärer Heap ganz ohne Zeiger in einem Array gespeichert werden?

  1. AArrays halten Schlüssel automatisch sortiert, sodass keine Zeiger nötig sind
  2. BAlle Schlüssel in einem Heap sind gleich
  3. CHeaps enthalten nie mehr als 100 Elemente
  4. DEr ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln
4.DatenstrukturenSchwer

Im BST mit Wurzel 50, linkem Teilbaum 30 (Kinder 20, 40) und rechtem Teilbaum 70 (Kinder 60, 80) wird die Wurzel mithilfe des In-Order-Nachfolgers gelöscht. Welcher Schlüssel wird die neue Wurzel?

  1. A70
  2. B40
  3. C60
  4. D80
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 4 Knoten vom Grad 3, 2 Knoten vom Grad 5, 2 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

4 × deg 32 × deg 52 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
12671104141918ABCDEF

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Kürzeste Wege, gemessen in der Anzahl der Kanten vom Startknoten

Warum das die Antwort ist

BFS besucht Knoten in der Reihenfolge ihres Abstands (in Kanten) vom Startknoten und findet daher kürzeste ungewichtete Wege in O(V + E).

Antwort

D · Kürzeste Wege, gemessen in der Anzahl der Kanten vom Startknoten
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Quickselect läuft erwartet in O(n), und Median-of-Medians garantiert O(n) im Worst Case

Warum das die Antwort ist

Der erwartete Aufwand von Quickselect ist mit zufälligen Pivots n + n/2 + n/4 + ... = O(n); wählt man das Pivot als Median der Mediane, wird der Worst Case linear.

Antwort

D · Quickselect läuft erwartet in O(n), und Median-of-Medians garantiert O(n) im Worst Case
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Er ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln

Warum das die Antwort ist

Vollständigkeit bedeutet, dass es keine Lücken gibt, daher liegen die Kinder von Index i immer bei 2i + 1 und 2i + 2.

Antwort

D · Er ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln
4.Datenstrukturen

Antwort: C · 60

Warum das die Antwort ist

Der linkeste Knoten des rechten Teilbaums ist 60, also ersetzt 60 die 50 und seine alte Position wird entfernt; mit dem Vorgänger ergäbe sich 40.

Antwort

C · 60
5.Graphentheorie

Antwort: L = 12

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 26 = 2(L + 8) − 2
L = 12

Antwort

L = 12

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: W = 32

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

BD (1): nehmen
DE (4): nehmen
AC (6): nehmen
BC (7): nehmen
CE (10): überspringen, schließt einen Kreis
AB (12): überspringen, schließt einen Kreis
DF (14): nehmen

Gesamtgewicht

W = 1 + 4 + 6 + 7 + 14 = 32

Antwort

W = 32

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