Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Laufzeit hat LSD-Radixsort für n ganze Zahlen mit d Ziffern zur Basis k?

  1. AO(n log n)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie hoch sind die amortisierten Kosten für das Inkrementieren eines Binärzählers, wenn ein einzelnes Inkrement viele Bits umschalten kann?

  1. AO(n) pro Inkrement
  2. BO(n log n) pro Inkrement
  3. CO(1) pro Inkrement
  4. DO(log n) pro Inkrement
3.DatenstrukturenMittel

Die Schlüssel 50, 30, 70, 20, 40 werden in dieser Reihenfolge in einen leeren binären Suchbaum eingefügt. Was ist das linke Kind von 30?

  1. A70
  2. B20
  3. C40
  4. D50
4.DatenstrukturenSchwer

Was ist der Hauptvorteil einer Skip-Liste gegenüber einer sortierten verketteten Liste?

  1. ASie speichert Schlüssel ungeordnet
  2. BErwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
  3. CGarantierte Suche in O(1), weil jeder Knoten einen Zeiger auf jeden anderen Knoten speichert
  4. DSie benötigt keinen zusätzlichen Speicher
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 2 Knoten vom Grad 3, 2 Knoten vom Grad 5, 3 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

2 × deg 32 × deg 53 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDE

Wie viele geschlossene Wege der Länge 3 beginnen und enden bei B? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 3
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(d(n + k))

Warum das die Antwort ist

Jeder der d Durchläufe ist ein Countingsort mit Kosten O(n + k), also ist der Gesamtaufwand bei festen d und k linear in n.

Antwort

B · O(d(n + k))
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(1) pro Inkrement

Warum das die Antwort ist

Über n Inkremente schaltet Bit i etwa n / 2ⁱ-mal um, also sind es insgesamt weniger als 2n Umschaltungen, im Durchschnitt O(1) pro Inkrement.

Antwort

C · O(1) pro Inkrement
3.Datenstrukturen

Antwort: B · 20

Warum das die Antwort ist

20 ist kleiner als 50 und kleiner als 30, wird also das linke Kind von 30; 40 wird sein rechtes Kind.

Antwort

B · 20
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern

Warum das die Antwort ist

Zufällig gewählte Ebenen erlauben es, bei der Suche viele Knoten zu überspringen, was erwartete O(log n) für Suchen, Einfügen und Löschen ergibt.

Antwort

B · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
5.Graphentheorie

Antwort: L = 10

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 22 = 2(L + 7) − 2
L = 10

Antwort

L = 10

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: N = 2

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Ein weiterer Schritt

(M³)BB = 1·1 + 3·0 + 1·1 + 0·1 + 2·0 = 2

Antwort

N = 2

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