Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was bedeutet es, dass ein Problem optimale Teilstruktur hat?

  1. AEine optimale Lösung lässt sich aus optimalen Lösungen seiner Teilprobleme zusammensetzen
  2. BJedes Teilproblem hat dieselbe Größe
  3. CDas Problem hat genau eine optimale Lösung, die jedes Teilproblem teilt
  4. DDas Problem kann in konstanter Zeit gelöst werden
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Laufzeit hat der Dijkstra-Algorithmus mit einem binären Heap auf einem Graphen mit V Knoten und E Kanten?

  1. AO(V × E)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V³)
3.DatenstrukturenMittel

Wie viel Speicher benötigt eine Adjazenzmatrix für einen Graphen mit V Knoten?

  1. AO(V²)
  2. BO(E)
  3. CO(log V)
  4. DO(V + E)
4.DatenstrukturenSchwer

Ein dynamisches Array verdoppelt sich, wenn es voll ist. Warum verkleinern es viele Implementierungen erst, wenn es zu einem Viertel gefüllt ist, und nicht schon bei halber Füllung?

  1. AWeil Halbieren bei halber Füllung Elemente verlieren würde
  2. BUm wiederholtes Umdimensionieren zu vermeiden, wenn sich push und pop nahe der Grenze abwechseln
  3. CUm das Array sortiert zu halten
  4. DWeil der Speicherverwalter Speicher nur in Vierteln eines Blocks freigeben kann
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 3, 2 Knoten vom Grad 4, 3 Knoten vom Grad 5, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 32 × deg 43 × deg 5
L =
6.GraphentheorieSchwer
16192174381ABCDEF

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Eine optimale Lösung lässt sich aus optimalen Lösungen seiner Teilprobleme zusammensetzen

Warum das die Antwort ist

Optimale Teilstruktur ist sowohl für Greedy-Algorithmen als auch für dynamische Programmierung nötig, damit sie korrekte Ergebnisse liefern.

Antwort

A · Eine optimale Lösung lässt sich aus optimalen Lösungen seiner Teilprobleme zusammensetzen
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O((V + E) log V)

Warum das die Antwort ist

Es gibt V Extract-Min- und bis zu E Decrease-Key-Operationen mit jeweils O(log V); ein Fibonacci-Heap verbessert dies auf O(E + V log V).

Antwort

B · O((V + E) log V)
3.Datenstrukturen

Antwort: A · O(V²)

Warum das die Antwort ist

Eine Adjazenzmatrix speichert V × V Einträge und ist effizient für dichte Graphen; Adjazenzlisten benötigen O(V + E) und sind besser für dünn besetzte Graphen.

Antwort

A · O(V²)
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Um wiederholtes Umdimensionieren zu vermeiden, wenn sich push und pop nahe der Grenze abwechseln

Warum das die Antwort ist

Verkleinern bei halber Füllung könnte in einer solchen Folge bei jeder Operation ein Umdimensionieren auslösen; der Abstand zwischen 1/4 und voll hält die amortisierten Kosten bei O(1).

Antwort

B · Um wiederholtes Umdimensionieren zu vermeiden, wenn sich push und pop nahe der Grenze abwechseln
5.Graphentheorie

Antwort: L = 18

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 32 = 2(L + 8) − 2
L = 18

Antwort

L = 18

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: W = 26

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

BE (1): nehmen
BC (2): nehmen
DF (3): nehmen
DE (4): nehmen
EF (8): überspringen, schließt einen Kreis
AB (16): nehmen

Gesamtgewicht

W = 1 + 2 + 3 + 4 + 16 = 26

Antwort

W = 26

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