Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Du sortierst ein Array mit n Elementen einmal und beantwortest danach k Enthaltenseinsanfragen mit binärer Suche. Wie hoch sind die Gesamtkosten?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(nk)
  3. CO(n + k)
  4. DO(k n log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum braucht jede vergleichsbasierte Suche in einem sortierten Array im Worst Case Ω(log n) Vergleiche?

  1. AJeder Vergleich braucht logarithmische Zeit
  2. BEin Entscheidungsbaum mit n möglichen Ergebnissen muss mindestens die Tiefe log₂ n haben
  3. CDie binäre Suche ist der einzig mögliche Algorithmus und braucht log₂ n Vergleiche
  4. DJedes Element muss mindestens einmal verglichen werden
3.DatenstrukturenMittel

Was passiert, wenn eine Hashtabelle nach Überschreiten eines Füllgrad-Schwellenwerts ein Rehashing durchführt?

  1. AEine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt
  2. BNur die kollidierenden Schlüssel kommen in eine neue Überlaufliste am Ende der Tabelle
  3. CDie ältesten Schlüssel werden gelöscht, um Platz zu schaffen
  4. DDie vorhandenen Schlüssel werden an Ort und Stelle sortiert
4.DatenstrukturenSchwer

Ein AVL-Knoten ist unbalanciert, weil der rechte Teilbaum seines linken Kindes zu hoch wurde (Links-rechts-Fall). Welche Korrektur wird angewendet?

  1. AEine einfache Linksrotation am Knoten
  2. BEine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
  3. CEine einfache Rechtsrotation am Knoten
  4. DEine Rechtsrotation am linken Kind, dann eine Linksrotation am Knoten
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 8 Knoten und 9 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 8|E| = 9
k =
6.GraphentheorieSchwer
136971011205ABCDEF

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n log n + k log n)

Warum das die Antwort ist

Das Sortieren kostet O(n log n) und jede Anfrage O(log n); das schlägt k lineare Durchläufe (O(nk)), wenn k groß ist.

Antwort

A · O(n log n + k log n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Ein Entscheidungsbaum mit n möglichen Ergebnissen muss mindestens die Tiefe log₂ n haben

Warum das die Antwort ist

Jeder Vergleich halbiert die Menge der verbleibenden Möglichkeiten höchstens, also braucht die Unterscheidung von n Positionen mindestens log₂ n Vergleiche.

Antwort

B · Ein Entscheidungsbaum mit n möglichen Ergebnissen muss mindestens die Tiefe log₂ n haben
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Eine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt

Warum das die Antwort ist

Da der Index modulo der Tabellengröße berechnet wird, müssen alle Schlüssel in die neue, größere Tabelle neu gehasht werden; bei Verdopplung bleibt das amortisiert O(1).

Antwort

A · Eine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Eine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten

Warum das die Antwort ist

Die erste Rotation verwandelt den Links-rechts-Fall in einen Links-links-Fall, den dann eine Rechtsrotation am unbalancierten Knoten behebt.

Antwort

B · Eine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
5.Graphentheorie

Antwort: k = 2

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

8 − 1 = 7

Zu entfernende Kanten

k = 9 − 7 = 2

Antwort

k = 2
6.Graphentheorie

Antwort: W = 44

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

BE (5): nehmen
BC (6): nehmen
CE (7): überspringen, schließt einen Kreis
BD (9): nehmen
DE (10): überspringen, schließt einen Kreis
DF (11): nehmen
AC (13): nehmen

Gesamtgewicht

W = 5 + 6 + 9 + 11 + 13 = 44

Antwort

W = 44

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