Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Ist es richtig zu sagen, dass ein O(n²)-Algorithmus auch O(n³) ist?

  1. ANein, denn n³ ist für große n kleiner als n²
  2. BJa, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³
  3. CNein, denn Groß-O muss stets die genaue Wachstumsrate der Funktion angeben
  4. DJa, aber nur wenn n kleiner als 100 ist
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Technik liefert für Quicksort bei jeder Eingabe eine erwartete Laufzeit von O(n log n)?

  1. ADen Pivot gleichverteilt zufällig wählen
  2. BRekursion nur auf der linken Seite verwenden
  3. CImmer das erste Element wählen
  4. DDie Eingabe vor dem Quicksort sortieren
3.DatenstrukturenMittel

Wie wird ein neues Element in einen binären Heap eingefügt?

  1. AIn die Wurzel setzen und nach unten wandern lassen
  2. BAn der sortierten Position einfügen, indem alle größeren Elemente um eine Stelle nach rechts verschoben werden
  3. CAns Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt
  4. DDen ganzen Heap von Grund auf neu aufbauen
4.DatenstrukturenSchwer

Wie kannst du mit O(1) zusätzlichem Speicher erkennen, ob eine einfach verkettete Liste einen Zyklus enthält?

  1. ADie Liste sortieren und nach Duplikaten suchen
  2. BEinen Zeiger um einen Schritt und einen anderen um zwei Schritte bewegen und prüfen, ob sie sich treffen
  3. CJeden besuchten Knoten in einem Hash-Set speichern
  4. DDie Knoten zählen, bis die Zahl das Längenfeld der Liste übersteigt
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
11741681917ABCDE

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Ja, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³

Warum das die Antwort ist

Groß-O ist eine obere Schranke, also ist die Aussage wahr, aber nicht scharf; Θ(n²) gibt die genaue Wachstumsrate an.

Antwort

B · Ja, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Den Pivot gleichverteilt zufällig wählen

Warum das die Antwort ist

Mit einem zufälligen Pivot beträgt die erwartete Laufzeit für jede Eingabe O(n log n); schlechte Fälle gibt es weiterhin, sie sind aber sehr unwahrscheinlich.

Antwort

A · Den Pivot gleichverteilt zufällig wählen
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Ans Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt

Warum das die Antwort ist

Das Hinzufügen am Ende hält den Baum vollständig; das Vertauschen mit dem Elternknoten stellt die Ordnung in O(log n) Schritten wieder her.

Antwort

C · Ans Ende des Arrays setzen und nach oben wandern lassen (sift-up), solange es die Heap-Eigenschaft verletzt
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Einen Zeiger um einen Schritt und einen anderen um zwei Schritte bewegen und prüfen, ob sie sich treffen

Warum das die Antwort ist

Bei Floyds Algorithmus holt der schnelle Zeiger den langsamen irgendwann ein, wenn es einen Zyklus gibt; andernfalls erreicht der schnelle Zeiger null.

Antwort

B · Einen Zeiger um einen Schritt und einen anderen um zwei Schritte bewegen und prüfen, ob sie sich treffen
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: W = 35

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

BC (4): nehmen
AC (7): nehmen
CE (8): nehmen
AB (11): überspringen, schließt einen Kreis
BD (16): nehmen

Gesamtgewicht

W = 4 + 7 + 8 + 16 = 35

Antwort

W = 35

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