Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie baut der Algorithmus von Prim einen minimalen Spannbaum auf?

  1. AEr lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen und fügt die günstigste Kante hinzu, die den Baum verlässt
  2. BEr entfernt die teuerste Kante, bis keine Kreise mehr übrig sind
  3. CEr sortiert alle Kanten nach Gewicht und fügt jede hinzu, sofern sie im Wald keinen Kreis bildet
  4. DEr führt eine Breitensuche aus und behält den BFS-Baum
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Schranke ist für log(n!) richtig?

  1. AΘ(log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log n)
3.DatenstrukturenMittel

Mit welcher Datenstruktur prüft man, ob die Klammern in "{[()]}" ausgeglichen sind?

  1. AMit einem binären Suchbaum
  2. BMit einem Stack
  3. CMit einer Queue
  4. DMit einer Hashtabelle
4.DatenstrukturenSchwer

Wie hoch sind ohne Union by Rank und Pfadkompression die Kosten eines einzelnen find im schlechtesten Fall in einer Union-Find-Struktur mit n Elementen?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(α(n))
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
101424212255ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Er lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen und fügt die günstigste Kante hinzu, die den Baum verlässt

Warum das die Antwort ist

Der Algorithmus von Prim läuft mit einer Prioritätswarteschlange der kreuzenden Kanten bei einem binären Heap in O(E log V).

Antwort

A · Er lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen und fügt die günstigste Kante hinzu, die den Baum verlässt
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Θ(n log n)

Warum das die Antwort ist

log(n!) ≤ n log n, und die größten n / 2 Faktoren ergeben log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); deshalb braucht vergleichsbasiertes Sortieren Ω(n log n).

Antwort

D · Θ(n log n)
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Mit einem Stack

Warum das die Antwort ist

Lege jede öffnende Klammer mit push ab und hole bei einer schließenden Klammer mit pop eine heraus; sie muss zur entnommenen Klammer passen, und am Ende muss der Stack leer sein.

Antwort

B · Mit einem Stack
4.Datenstrukturen

Antwort: C · O(n)

Warum das die Antwort ist

Naive Vereinigungen können Bäume zu einer langen Kette verbinden, sodass find n − 1 Elternzeigern folgen muss; die beiden Heuristiken bringen es nahe an konstante Kosten.

Antwort

C · O(n)
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

B, C, D, E → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 16

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 10, C: 14
B (10): C: 12, D: 14, E: 15
C (12): E: 14
D (14): F: 16
E (14)
F (16)

Kürzester Weg

A → B → D → F
d(F) = 16

Antwort

d(F) = 16

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