Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Ist es richtig zu sagen, dass ein O(n²)-Algorithmus auch O(n³) ist?

  1. ANein, denn n³ ist für große n kleiner als n²
  2. BNein, denn Groß-O muss stets die genaue Wachstumsrate der Funktion angeben
  3. CJa, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³
  4. DJa, aber nur wenn n kleiner als 100 ist
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log² n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n)
3.DatenstrukturenMittel

Was gilt für die Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen?

  1. AJede Zeile hat genau eine 1
  2. BSie ist symmetrisch zur Hauptdiagonale
  3. CSie ist immer eine obere Dreiecksmatrix
  4. DIhre Hauptdiagonale enthält immer Einsen
4.DatenstrukturenSchwer

Ein AVL-Knoten ist unbalanciert, weil der rechte Teilbaum seines linken Kindes zu hoch wurde (Links-rechts-Fall). Welche Korrektur wird angewendet?

  1. AEine Rechtsrotation am linken Kind, dann eine Linksrotation am Knoten
  2. BEine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
  3. CEine einfache Linksrotation am Knoten
  4. DEine einfache Rechtsrotation am Knoten
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 3, 4 Knoten vom Grad 5, 2 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 34 × deg 52 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
1711202519188ABCDEF

Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 5 hinzufügt; übersprungene Kanten zählen nicht.

k = 5
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BD
  4. 4Kante CE
  5. 5Kante DE
  6. 6Kante DF
  7. 7Kante EF
  8. 8Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Ja, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³

Warum das die Antwort ist

Groß-O ist eine obere Schranke, also ist die Aussage wahr, aber nicht scharf; Θ(n²) gibt die genaue Wachstumsrate an.

Antwort

C · Ja, denn Groß-O ist eine obere Schranke, und n² wächst nicht schneller als n³
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Θ(n log² n)

Warum das die Antwort ist

Ebene k leistet etwa n log(n / 2ᵏ) Arbeit, und die Summe über log n Ebenen ergibt Θ(n log² n), den erweiterten zweiten Fall des Master-Theorems.

Antwort

A · Θ(n log² n)
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Sie ist symmetrisch zur Hauptdiagonale

Warum das die Antwort ist

In einem ungerichteten Graphen bedeutet die Kante {u, v}, dass sowohl M[u][v] als auch M[v][u] gesetzt sind, daher ist die Matrix gleich ihrer Transponierten.

Antwort

B · Sie ist symmetrisch zur Hauptdiagonale
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Eine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten

Warum das die Antwort ist

Die erste Rotation verwandelt den Links-rechts-Fall in einen Links-links-Fall, den dann eine Rechtsrotation am unbalancierten Knoten behebt.

Antwort

B · Eine Linksrotation am linken Kind, dann eine Rechtsrotation am Knoten
5.Graphentheorie

Antwort: L = 17

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 33 = 2(L + 9) − 2
L = 17

Antwort

L = 17

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: Kante EF

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

1. CE (2)
2. DE (5)
3. BE (8)
4. AC (11)
5. EF (18)

Kantennummer 5

EF

Antwort

Kante EF

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