Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welches dieser Erfüllbarkeitsprobleme ist bekanntermaßen in polynomieller Zeit lösbar?

  1. A2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
  2. BAllgemeines SAT für Formeln in konjunktiver Normalform
  3. C3-SAT, bei dem jede Klausel genau drei Literale hat
  4. DSchaltkreis-Erfüllbarkeit
3.DatenstrukturenMittel

Mit welcher Datenstruktur prüft man, ob die Klammern in "{[()]}" ausgeglichen sind?

  1. AMit einer Queue
  2. BMit einer Hashtabelle
  3. CMit einem Stack
  4. DMit einem binären Suchbaum
4.DatenstrukturenSchwer

Du willst für jedes Element eines Arrays das nächstgrößere Element rechts davon finden, insgesamt in O(n). Welche Struktur hilft?

  1. AEine Queue, die jedes Elementpaar enthält
  2. BEin Stack, der Elemente hält, die noch auf ihre Antwort warten
  3. CEin binärer Suchbaum, der für jedes Element neu aufgebaut wird
  4. DEine Hashtabelle aller Elemente
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K5? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K5
H =
6.GraphentheorieSchwer
46131412111213ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(E) des kürzesten Weges von A nach E im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: E
d(E) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(log n)

Warum das die Antwort ist

Das Problem halbiert sich bei jedem Schritt mit konstantem Aufwand pro Schritt, also gibt es etwa log₂ n Schritte.

Antwort

D · O(log n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat

Warum das die Antwort ist

2-SAT liegt in P (lineare Zeit über starke Zusammenhangskomponenten), während 3-SAT NP-vollständig ist.

Antwort

A · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Mit einem Stack

Warum das die Antwort ist

Lege jede öffnende Klammer mit push ab und hole bei einer schließenden Klammer mit pop eine heraus; sie muss zur entnommenen Klammer passen, und am Ende muss der Stack leer sein.

Antwort

C · Mit einem Stack
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Ein Stack, der Elemente hält, die noch auf ihre Antwort warten

Warum das die Antwort ist

Beim Durchlauf von links nach rechts entnimmst du jedes gestapelte Element, das kleiner als das aktuelle ist (das aktuelle Element ist seine Antwort), und legst dann das aktuelle ab; jedes Element bewegt sich höchstens zweimal.

Antwort

B · Ein Stack, der Elemente hält, die noch auf ihre Antwort warten
5.Graphentheorie

Antwort: H = 12

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Antwort

H = 12
6.Graphentheorie

Antwort: d(E) = 17

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 4, C: 6
B (4): D: 18, E: 17
C (6)
E (17): F: 19
D (18)
F (19)

Kürzester Weg

A → B → E
d(E) = 17

Antwort

d(E) = 17

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