Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat: for i = 1 to n: for j = 1 to i: O(1)-Arbeit?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum erreicht die binäre Suche auf einer einfach verketteten Liste keine Laufzeit von O(log n)?

  1. AVerkettete Listen können nicht sortiert werden
  2. BDas Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt
  3. CVergleiche auf Knoten verketteter Listen sind langsamer
  4. DDie binäre Suche braucht mindestens doppelt so viel Speicher
3.DatenstrukturenMittel

Welche Balancebedingung hält ein AVL-Baum an jedem Knoten ein?

  1. ADie Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1
  2. BAlle Blätter liegen in genau derselben Tiefe
  3. CJeder Knoten ist rot oder schwarz gefärbt
  4. DBeide Teilbäume jedes Knotens enthalten genau gleich viele Knoten
4.DatenstrukturenSchwer

In einem Ringpuffer kann front == rear entweder leer oder voll bedeuten. Wie unterscheidet man das üblicherweise?

  1. AFront und rear in derselben Variablen speichern
  2. BEinen separaten Elementzähler führen oder immer einen Platz frei lassen
  3. CDen Puffer immer leeren, wenn front gleich rear ist, sodass der Zustand leer ist
  4. DDie Puffergröße zu einer Zweierpotenz machen
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
9137155936ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 4 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n²)

Warum das die Antwort ist

Der innere Rumpf wird insgesamt n(n + 1) / 2-mal ausgeführt, was immer noch quadratisch ist.

Antwort

A · O(n²)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Das Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt

Warum das die Antwort ist

Die binäre Suche braucht O(1)-Zugriff auf die Mitte; in einer verketteten Liste kostet der Weg dorthin lineare Zeit, sodass die Gesamtlaufzeit O(n) ist.

Antwort

B · Das Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Die Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1

Warum das die Antwort ist

Der Balancefaktor (Höhe links − Höhe rechts) muss −1, 0 oder 1 sein; Rotationen stellen ihn nach Einfügen und Löschen wieder her.

Antwort

A · Die Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Einen separaten Elementzähler führen oder immer einen Platz frei lassen

Warum das die Antwort ist

Mit einem Zähler bedeutet leer count = 0 und voll count = Kapazität; mit einem freien Platz ist voll als (rear + 1) mod n == front definiert.

Antwort

B · Einen separaten Elementzähler führen oder immer einen Platz frei lassen
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: D

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 9
2. B (9): C: 22, D: 16, E: 15
3. E (15): F: 18
4. D (16)
5. F (18)
6. C (22)

Runde 4

D

Antwort

D

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