Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat die Multiplikation zweier n × n-Matrizen mit der üblichen dreifachen Schleife?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n³)
  4. DO(n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Liegt 22n in O(2ⁿ)?

  1. AJa, denn beide sind exponentiell
  2. BNein, denn 22n wächst langsamer als 2ⁿ
  3. CJa, denn konstante Faktoren im Exponenten werden in der Groß-O-Notation immer ignoriert
  4. DNein, denn 22n = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt
3.DatenstrukturenMittel

Warum ist das Durchlaufen eines Arrays in der Praxis oft viel schneller als das einer gleich langen verketteten Liste?

  1. AVerkettete Listen speichern Elemente immer auf der Festplatte
  2. BArray-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus
  3. CArrays brauchen weniger Instruktionen zum Vergleichen von Werten
  4. DDas Durchlaufen eines Arrays ist insgesamt O(1), das einer verketteten Liste O(n)
4.DatenstrukturenSchwer

Die Union-Find-Struktur (Disjoint Set) mit Union by Rank und Pfadkompression hat amortisierte Kosten pro Operation von:

  1. AO(n²)
  2. BGenau O(log n)
  3. CO(α(n)), der inversen Ackermann-Funktion, die praktisch konstant ist
  4. DO(n)
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 9 Knoten und 9 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 9|E| = 9
k =
6.GraphentheorieSchwer
41141516201311ABCDEF

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n³)

Warum das die Antwort ist

Es gibt n² Einträge, und jeder braucht n Multiplikationen, das ergibt n³ Operationen.

Antwort

C · O(n³)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Nein, denn 22n = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt

Warum das die Antwort ist

Eine zum Exponenten addierte Konstante ergibt einen konstanten Faktor, aber eine Konstante, die den Exponenten multipliziert, ändert die Basis und die Wachstumsrate.

Antwort

D · Nein, denn 22n = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Array-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus

Warum das die Antwort ist

Zusammenhängender Speicher bietet gute Lokalität, während verkettete Knoten verstreut liegen und viele Cache-Misses verursachen können.

Antwort

B · Array-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus
4.Datenstrukturen

Antwort: C · O(α(n)), der inversen Ackermann-Funktion, die praktisch konstant ist

Warum das die Antwort ist

Mit beiden Optimierungen benötigen Operationen amortisiert O(α(n)) Zeit; α(n) ≤ 4 für jedes realistische n.

Antwort

C · O(α(n)), der inversen Ackermann-Funktion, die praktisch konstant ist
5.Graphentheorie

Antwort: k = 1

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

9 − 1 = 8

Zu entfernende Kanten

k = 9 − 8 = 1

Antwort

k = 1
6.Graphentheorie

Antwort: W = 44

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

AC (1): nehmen
AB (4): nehmen
BE (11): nehmen
EF (13): nehmen
BC (14): überspringen, schließt einen Kreis
BD (15): nehmen

Gesamtgewicht

W = 1 + 4 + 11 + 13 + 15 = 44

Antwort

W = 44

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