Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Greedy-Regel liefert beim Aktivitätsauswahlproblem immer eine maximale Anzahl sich nicht überschneidender Aktivitäten?

  1. ADie Aktivität wählen, die am frühesten endet, dann mit den verträglichen wiederholen
  2. BZuerst die Aktivität mit den wenigsten Überschneidungen wählen, dann mit den verträglichen wiederholen
  3. CDie Aktivität wählen, die am frühesten beginnt
  4. DZuerst die kürzeste Aktivität wählen
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das Halteproblem zeigt, dass:

  1. AManche Programme auf schnelleren Computern schneller laufen, das Anhalten also von der Hardware abhängt
  2. BJedes Programm irgendwann anhält
  3. CKein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
  4. DSchleifen vermieden werden sollten
3.DatenstrukturenMittel

Bei welchem Verfahren zur Kollisionsauflösung werden kollidierende Schlüssel in einer Liste im selben Bucket gespeichert?

  1. AVerkettung (Separate Chaining)
  2. BLineares Sondieren (Linear Probing)
  3. CQuadratisches Sondieren (Quadratic Probing)
  4. DDoppeltes Hashing (Double Hashing)
4.DatenstrukturenSchwer

Welches Problem des linearen Sondierens verringert Double Hashing vor allem?

  1. ADie Notwendigkeit, Schlüssel in der Tabelle zu speichern
  2. BDie Notwendigkeit einer Hashfunktion
  3. CDie O(n)-Kosten beim Lesen des Werts zu einem Schlüssel
  4. DPrimäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 4, 4 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 44 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDE

Wie viele Wege der Länge 3 führen von D nach B? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 3
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Die Aktivität wählen, die am frühesten endet, dann mit den verträglichen wiederholen

Warum das die Antwort ist

Dass die Wahl des frühesten Endzeitpunkts optimal ist, lässt sich mit einem Austauschargument beweisen; für die anderen Regeln gibt es Gegenbeispiele.

Antwort

A · Die Aktivität wählen, die am frühesten endet, dann mit den verträglichen wiederholen
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält

Warum das die Antwort ist

Turing zeigte, dass das Halteproblem unentscheidbar ist: Die Annahme, ein Entscheider existiere, führt zu einem Widerspruch mit einem Programm, das das Gegenteil tut.

Antwort

C · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Verkettung (Separate Chaining)

Warum das die Antwort ist

Beim Chaining gibt es pro Bucket eine verkettete Liste (oder eine andere Struktur); offene Adressierung sucht einen anderen freien Platz in der Tabelle selbst.

Antwort

A · Verkettung (Separate Chaining)
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen

Warum das die Antwort ist

Lineares Sondieren geht in Schritten von 1, daher wachsen belegte Folgen und verschmelzen; Double Hashing nutzt einen zweiten Hash für die Schrittweite, sodass verschiedene Schlüssel verschiedene Folgen sondieren.

Antwort

D · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
5.Graphentheorie

Antwort: L = 8

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 20 = 2(L + 7) − 2
L = 8

Antwort

L = 8

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: N = 5

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Ein weiterer Schritt

(M³)DB = 1·1 + 0·0 + 2·1 + 2·1 + 0·0 = 5

Antwort

N = 5

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