Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Warum bringt dynamische Programmierung bei Mergesort keine echte Beschleunigung?

  1. ASeine Teilprobleme überlappen sich nicht, also gibt es nichts wiederzuverwenden
  2. BMergesort ist bereits O(n)
  3. CMergesort hat keine rekursive Struktur
  4. DDynamische Programmierung funktioniert nur bei Graphenproblemen, nicht bei Arrays
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Nimmt man beide Endpunkte jeder Kante eines maximalen Matchings, erhält man eine Knotenüberdeckung. Wie gut ist diese Überdeckung?

  1. AHöchstens log n-mal so groß wie das Minimum
  2. BHöchstens doppelt so groß wie eine minimale Knotenüberdeckung
  3. CImmer eine minimale Knotenüberdeckung
  4. DVon unbekannter Güte im Vergleich zum Optimum
3.DatenstrukturenMittel

Welche Datenstruktur nutzt ein laufendes Programm, um aktive Funktionsaufrufe und ihre lokalen Variablen zu verwalten?

  1. AEine Hashtabelle der Funktionen
  2. BDie Heap-Speicher-Queue
  3. CDen Aufrufstack (Call Stack)
  4. DEinen binären Suchbaum der Frames
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Laufzeit hat die Breitensuche auf einem Graphen mit V Knoten, der als Adjazenzmatrix gespeichert ist?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V²)
  3. CO(V)
  4. DO(E log V)
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K4? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K4
H =
6.GraphentheorieSchwer
13461281512105ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Seine Teilprobleme überlappen sich nicht, also gibt es nichts wiederzuverwenden

Warum das die Antwort ist

Die Hälften bei Mergesort sind disjunkt und werden jeweils einmal gelöst; DP hilft nur, wenn Teilprobleme wiederkehren, wie bei Fibonacci.

Antwort

A · Seine Teilprobleme überlappen sich nicht, also gibt es nichts wiederzuverwenden
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Höchstens doppelt so groß wie eine minimale Knotenüberdeckung

Warum das die Antwort ist

Die Matchingkanten haben keine gemeinsamen Knoten, also braucht das Optimum mindestens einen Knoten pro Kante, während diese Methode zwei nimmt: eine 2-Approximation.

Antwort

B · Höchstens doppelt so groß wie eine minimale Knotenüberdeckung
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Den Aufrufstack (Call Stack)

Warum das die Antwort ist

Jeder Aufruf legt einen Stackframe ab und jede Rückkehr entfernt ihn, deshalb endet der jüngste Aufruf zuerst.

Antwort

C · Den Aufrufstack (Call Stack)
4.Datenstrukturen

Antwort: B · O(V²)

Warum das die Antwort ist

Jeder der V Knoten durchsucht eine Zeile mit V Einträgen, das ergibt O(V²); mit Adjazenzlisten ist BFS O(V + E).

Antwort

B · O(V²)
5.Graphentheorie

Antwort: H = 3

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Antwort

H = 3
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 43

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 13
B (13): C: 17, G: 28
C (17): E: 23
E (23): D: 35
G (28)
D (35): F: 43
F (43)

Kürzester Weg

A → B → C → E → D → F
d(F) = 43

Antwort

d(F) = 43

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