Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie hoch sind die amortisierten Kosten für das Inkrementieren eines Binärzählers, wenn ein einzelnes Inkrement viele Bits umschalten kann?

  1. AO(n log n) pro Inkrement
  2. BO(log n) pro Inkrement
  3. CO(n) pro Inkrement
  4. DO(1) pro Inkrement
3.DatenstrukturenMittel

Wie funktioniert extract-min in einem binären Min-Heap?

  1. ADas letzte Element in die Wurzel verschieben und nach unten wandern lassen
  2. BDie Wurzel entfernen und alle Elemente um eine Stelle nach links verschieben
  3. CAlle Blätter nach dem neuen Minimum durchsuchen
  4. DDas letzte Element des Arrays entfernen
4.DatenstrukturenSchwer

Welches Problem des linearen Sondierens verringert Double Hashing vor allem?

  1. ADie O(n)-Kosten beim Lesen des Werts zu einem Schlüssel
  2. BDie Notwendigkeit, Schlüssel in der Tabelle zu speichern
  3. CDie Notwendigkeit einer Hashfunktion
  4. DPrimäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 3, 2 Knoten vom Grad 4, 4 Knoten vom Grad 5, 2 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 32 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
2113132101415ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n)

Warum das die Antwort ist

Nach dem Master-Theorem dominiert nlog₂ 2 = n den konstanten Aufwand, also T(n) = Θ(n), wie beim Finden eines Maximums durch Halbieren.

Antwort

A · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(1) pro Inkrement

Warum das die Antwort ist

Über n Inkremente schaltet Bit i etwa n / 2ⁱ-mal um, also sind es insgesamt weniger als 2n Umschaltungen, im Durchschnitt O(1) pro Inkrement.

Antwort

D · O(1) pro Inkrement
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Das letzte Element in die Wurzel verschieben und nach unten wandern lassen

Warum das die Antwort ist

Das letzte Element füllt die Lücke in der Wurzel und wird mit seinem kleineren Kind vertauscht, bis die Heap-Eigenschaft gilt; das kostet O(log n).

Antwort

A · Das letzte Element in die Wurzel verschieben und nach unten wandern lassen
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen

Warum das die Antwort ist

Lineares Sondieren geht in Schritten von 1, daher wachsen belegte Folgen und verschmelzen; Double Hashing nutzt einen zweiten Hash für die Schrittweite, sodass verschiedene Schlüssel verschiedene Folgen sondieren.

Antwort

D · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
5.Graphentheorie

Antwort: L = 21

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 41 = 2(L + 11) − 2
L = 21

Antwort

L = 21

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 29

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 2, C: 11
B (2): C: 5, D: 15, E: 17
C (5): E: 7
E (7)
D (15): F: 29
F (29)

Kürzester Weg

A → B → D → F
d(F) = 29

Antwort

d(F) = 29

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms