Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma: Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Regulärer Graph: |E| = n·k/2
Baum und Wald: |E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welcher Algorithmus findet die kürzesten Wege von einem Startknoten in einem Graphen mit nichtnegativen Kantengewichten?

ABellman-Ford ist in allen Fällen erforderlich
BDijkstra-Algorithmus
CKruskal-Algorithmus
DTiefensuche (DFS)

2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was würde folgen, wenn jemand einen Polynomialzeitalgorithmus für ein NP-vollständiges Problem fände?

ANur dieses eine Problem würde nach P wandern
BAlle Algorithmen mit exponentieller Laufzeit würden sofort in linearer Zeit laufen
CDas Halteproblem würde entscheidbar
DJedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP

3.DatenstrukturenMittel

Wozu dient ein Sentinel-Knoten (Dummy-Knoten) in einer verketteten Liste?

AEr vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen
BEr speichert die Anzahl der Elemente
CEr hält die Liste sortiert
DUm zu verhindern, dass die Liste über eine feste Höchstzahl von Knoten hinauswächst

4.DatenstrukturenSchwer

Welche Eigenschaft muss ein Rot-Schwarz-Baum erfüllen?

ARote Knoten müssen rote Kindknoten haben, sodass rote Knoten immer ununterbrochene Ketten bis zu den Blättern bilden
BJeder Knoten muss rot sein
CJeder Pfad von einem Knoten zu seinen Nachfahren-Blättern enthält gleich viele schwarze Knoten
DDie Wurzel muss rot sein

5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 19 Knoten und 30 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 19|E| = 30

k =

6.GraphentheorieSchwer

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 7|E| = 10

W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Dijkstra-Algorithmus

Warum das die Antwort ist

Der Dijkstra-Algorithmus funktioniert mit nichtnegativen Gewichten; Bellman-Ford kommt mit negativen Gewichten zurecht; Kruskal baut minimale Spannbäume.

Antwort

B · Dijkstra-Algorithmus

2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP

Warum das die Antwort ist

Da sich ganz NP in polynomieller Zeit auf jedes NP-vollständige Problem reduzieren lässt, liefert ein schneller Algorithmus für eines einen schnellen Algorithmus für alle.

Antwort

D · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP

3.Datenstrukturen

Antwort: A · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen

Warum das die Antwort ist

Mit einem Sentinel hat jeder echte Knoten einen Vorgänger, daher braucht Einfügen oder Löschen am Kopf keine Sonderbehandlung.

Antwort

A · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen

4.Datenstrukturen

Antwort: C · Jeder Pfad von einem Knoten zu seinen Nachfahren-Blättern enthält gleich viele schwarze Knoten

Warum das die Antwort ist

Rot-Schwarz-Regeln: Knoten sind rot oder schwarz, die Wurzel ist schwarz, rote Knoten haben schwarze Kinder und alle Pfade haben die gleiche Schwarzhöhe, wodurch die Höhe ≤ 2 log₂(n + 1) bleibt.

Antwort

C · Jeder Pfad von einem Knoten zu seinen Nachfahren-Blättern enthält gleich viele schwarze Knoten

5.Graphentheorie

Antwort: k = 12

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; K_n hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

19 − 1 = 18

Zu entfernende Kanten

k = 30 − 18 = 12

Antwort

k = 12

6.Graphentheorie

Antwort: W = 26

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

BD (1): nehmen

BC (2): nehmen

GE (4): nehmen

AB (5): nehmen

GD (6): nehmen

AC (7): überspringen, schließt einen Kreis

EF (8): nehmen

Gesamtgewicht

W = 1 + 2 + 4 + 5 + 6 + 8 = 26

Antwort

W = 26

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