Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Warum bringt dynamische Programmierung bei Mergesort keine echte Beschleunigung?

  1. AMergesort ist bereits O(n)
  2. BDynamische Programmierung funktioniert nur bei Graphenproblemen, nicht bei Arrays
  3. CSeine Teilprobleme überlappen sich nicht, also gibt es nichts wiederzuverwenden
  4. DMergesort hat keine rekursive Struktur
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Ein Problem ist NP-vollständig, wenn es:

  1. AIn NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
  2. BAußerhalb von NP liegt, aber schwerer als alle NP-Probleme ist, wie das Halteproblem
  3. CUnmöglich zu lösen ist
  4. DIn Polynomialzeit lösbar ist
3.DatenstrukturenMittel

Wie groß ist die Höhe eines binären Suchbaums mit n Knoten im schlechtesten Fall, wenn die Schlüssel in sortierter Reihenfolge eingefügt werden?

  1. A1
  2. Bn (er wird zu einer verketteten Liste)
  3. C√n
  4. Dlog₂ n
4.DatenstrukturenSchwer

Die Zeitkomplexität von decrease-key in einem binären Heap (bei bekannter Position des Elements) beträgt:

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
7916131819310114ABCDEFG

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Seine Teilprobleme überlappen sich nicht, also gibt es nichts wiederzuverwenden

Warum das die Antwort ist

Die Hälften bei Mergesort sind disjunkt und werden jeweils einmal gelöst; DP hilft nur, wenn Teilprobleme wiederkehren, wie bei Fibonacci.

Antwort

C · Seine Teilprobleme überlappen sich nicht, also gibt es nichts wiederzuverwenden
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt

Warum das die Antwort ist

NP-vollständige Probleme sind die schwersten in NP; ein polynomieller Algorithmus für eines davon würde einen für ganz NP liefern.

Antwort

A · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
3.Datenstrukturen

Antwort: B · n (er wird zu einer verketteten Liste)

Warum das die Antwort ist

Sortiertes Einfügen erzeugt einen entarteten Baum der Höhe n, sodass Suchen O(n) kosten. Balancierte Bäume verhindern das.

Antwort

B · n (er wird zu einer verketteten Liste)
4.Datenstrukturen

Antwort: A · O(log n)

Warum das die Antwort ist

Nach dem Verringern des Schlüssels wandert das Element höchstens um die Höhe des Heaps nach oben (sift-up). Fibonacci-Heaps erreichen decrease-key in amortisiert O(1).

Antwort

A · O(log n)
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Ungerade Knoten

A, E → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: W = 52

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

GD (1): nehmen
GB (3): nehmen
AB (7): nehmen
BC (9): nehmen
GC (10): überspringen, schließt einen Kreis
CE (13): nehmen
GE (14): überspringen, schließt einen Kreis
BD (16): überspringen, schließt einen Kreis
DE (18): überspringen, schließt einen Kreis
EF (19): nehmen

Gesamtgewicht

W = 1 + 3 + 7 + 9 + 13 + 19 = 52

Antwort

W = 52

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