Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was musst du tun, um zu zeigen, dass ein neues Problem X NP-schwer ist?

  1. AX in polynomieller Zeit auf ein bekanntes NP-schweres Problem reduzieren
  2. BEin bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren
  3. CZeigen, dass X in polynomieller Zeit überprüft werden kann
  4. DZeigen, dass X für kleine Eingaben keinen polynomiellen Algorithmus hat
3.DatenstrukturenMittel

Warum ist das Durchlaufen eines Arrays in der Praxis oft viel schneller als das einer gleich langen verketteten Liste?

  1. AVerkettete Listen speichern Elemente immer auf der Festplatte
  2. BArrays brauchen weniger Instruktionen zum Vergleichen von Werten
  3. CDas Durchlaufen eines Arrays ist insgesamt O(1), das einer verketteten Liste O(n)
  4. DArray-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus
4.DatenstrukturenSchwer

Warum kann man Elemente aus einem Standard-Bloom-Filter nicht einfach durch Löschen ihrer Bits entfernen?

  1. ALöschen würde die Falsch-positiv-Rate auf 100 % erhöhen
  2. BDiese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde
  3. CBits in einem Bloom-Filter können nach der Erstellung nicht geändert werden
  4. DBloom-Filter speichern die vollständigen Elemente, die nach dem Hashen nicht wiedergefunden werden können
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 19 Knoten und 22 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 19|E| = 22
k =
6.GraphentheorieSchwer
310710153152113ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n)

Warum das die Antwort ist

Es gibt n Ebenen mit jeweils konstantem Aufwand, wie bei einer rekursiven Summe über ein Array.

Antwort

D · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Ein bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren

Warum das die Antwort ist

Lässt sich ein bekanntes schweres Problem effizient in X umformen, würde ein schneller Algorithmus für X auch das bekannte Problem lösen.

Antwort

B · Ein bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Array-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus

Warum das die Antwort ist

Zusammenhängender Speicher bietet gute Lokalität, während verkettete Knoten verstreut liegen und viele Cache-Misses verursachen können.

Antwort

D · Array-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Diese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde

Warum das die Antwort ist

Das Löschen eines geteilten Bits würde ein anderes Element als fehlend erscheinen lassen; zählende Bloom-Filter verwenden Zähler statt Bits, um Löschen zu ermöglichen.

Antwort

B · Diese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde
5.Graphentheorie

Antwort: k = 4

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

19 − 1 = 18

Zu entfernende Kanten

k = 22 − 18 = 4

Antwort

k = 4
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 13

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 3, C: 10
B (3): D: 10, G: 5
G (5): E: 8
E (8): F: 23
C (10)
D (10): F: 13
F (13)

Kürzester Weg

A → B → D → F
d(F) = 13

Antwort

d(F) = 13

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