Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viele Ebenen hat die Rekursion von Mergesort bei einem Array mit n Elementen?

  1. AEtwa n
  2. BEtwa √n
  3. CEtwa log₂ n
  4. DEtwa n / 2
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was hat der Satz von Cook und Levin gezeigt?

  1. ADas Halteproblem ist unentscheidbar
  2. BP ist ungleich NP
  3. CJedes NP-Problem kann in exponentieller Zeit gelöst werden
  4. DDas Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist NP-vollständig
3.DatenstrukturenMittel

Wie wird in einer zirkulären Queue, die in einem Array der Kapazität n gespeichert ist, die nächste Position nach Index i berechnet?

  1. Ai + 1
  2. B(i + 1) mod n
  3. C2i + 1
  4. D(i − 1) mod n
4.DatenstrukturenSchwer

Warum werden B-Bäume in Datenbanken und Dateisystemen verwendet?

  1. AIhr hoher Verzweigungsgrad hält den Baum flach und reduziert langsame Festplattenzugriffe
  2. BSie benötigen weniger Speicher als jedes Array, sodass der gesamte Index immer in den Hauptspeicher passt
  3. CSie benötigen keine Rebalancierung
  4. DSie speichern Daten unsortiert
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele Wege der Länge 2 führen von A nach B? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Etwa log₂ n

Warum das die Antwort ist

Das Halbieren von n bis auf 1 dauert etwa log₂ n Ebenen, und jede Ebene leistet O(n) Merge-Aufwand, das ergibt O(n log n).

Antwort

C · Etwa log₂ n
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist NP-vollständig

Warum das die Antwort ist

Cook und Levin zeigten unabhängig voneinander, dass sich jedes Problem in NP in polynomieller Zeit auf SAT reduzieren lässt; SAT war damit das erste bekannte NP-vollständige Problem.

Antwort

D · Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist NP-vollständig
3.Datenstrukturen

Antwort: B · (i + 1) mod n

Warum das die Antwort ist

Die Modulo-Operation lässt Index n − 1 wieder auf 0 umlaufen, sodass das Array ohne Verschieben von Elementen wiederverwendet wird.

Antwort

B · (i + 1) mod n
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Ihr hoher Verzweigungsgrad hält den Baum flach und reduziert langsame Festplattenzugriffe

Warum das die Antwort ist

B-Bäume speichern viele Schlüssel pro Knoten, daher ist die Höhe gering und pro Suche sind nur wenige Blockzugriffe nötig; B+-Bäume verketten zusätzlich die Blätter für Bereichsabfragen.

Antwort

A · Ihr hoher Verzweigungsgrad hält den Baum flach und reduziert langsame Festplattenzugriffe
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: N = 1

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)AB = 0·1 + 1·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 1

Antwort

N = 1

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