Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat der übliche Algorithmus der dynamischen Programmierung für die längste gemeinsame Teilfolge zweier Zeichenketten der Längen m und n?

  1. AO(mn)
  2. BO(2m+n)
  3. CO(m + n)
  4. DO(mn log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie verhalten sich n! und 2ⁿ für große n zueinander?

  1. A2ⁿ wächst schneller als n!
  2. Bn! ist O(n²)
  3. Cn! wächst schneller als 2ⁿ
  4. DSie wachsen gleich schnell
3.DatenstrukturenMittel

AVL-Bäume und Rot-Schwarz-Bäume garantieren:

  1. ADass kein Knoten zwei Kindknoten hat
  2. BSuche in konstanter Zeit in jedem Fall
  3. CEine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung
  4. DDass die Schlüssel in Einfügereihenfolge gespeichert werden
4.DatenstrukturenSchwer

Die Union-Find-Struktur (Disjoint Set) mit Union by Rank und Pfadkompression hat amortisierte Kosten pro Operation von:

  1. AO(n²)
  2. BGenau O(log n)
  3. CO(α(n)), der inversen Ackermann-Funktion, die praktisch konstant ist
  4. DO(n)
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 4 Knoten vom Grad 3, 3 Knoten vom Grad 4, 4 Knoten vom Grad 5, 3 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

4 × deg 33 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
1771231215149ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(G) des kürzesten Weges von A nach G im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: G
d(G) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(mn)

Warum das die Antwort ist

Die Tabelle hat (m + 1)(n + 1) Zellen, und jede wird in O(1) aus ihren Nachbarn berechnet.

Antwort

A · O(mn)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · n! wächst schneller als 2ⁿ

Warum das die Antwort ist

Für n ≥ 4 übersteigt n! den Wert 2ⁿ, und das Verhältnis wächst unbeschränkt, weil jeder weitere Faktor von n! größer als 2 ist.

Antwort

C · n! wächst schneller als 2ⁿ
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Eine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung

Warum das die Antwort ist

Selbstbalancierende Bäume halten die Höhe logarithmisch, sodass Suchen, Einfügen und Löschen im schlechtesten Fall O(log n) kosten.

Antwort

C · Eine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung
4.Datenstrukturen

Antwort: C · O(α(n)), der inversen Ackermann-Funktion, die praktisch konstant ist

Warum das die Antwort ist

Mit beiden Optimierungen benötigen Operationen amortisiert O(α(n)) Zeit; α(n) ≤ 4 für jedes realistische n.

Antwort

C · O(α(n)), der inversen Ackermann-Funktion, die praktisch konstant ist
5.Graphentheorie

Antwort: L = 24

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 50 = 2(L + 14) − 2
L = 24

Antwort

L = 24

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: d(G) = 16

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 1, C: 7
B (1): G: 16
C (7): E: 14
E (14): D: 26, F: 26
G (16): D: 25
D (25)
F (26)

Kürzester Weg

A → B → G
d(G) = 16

Antwort

d(G) = 16

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