Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Dynamische Programmierung ist nützlich, wenn ein Problem Folgendes aufweist:

  1. AÜberhaupt keine Teilprobleme, sodass es in einem Schritt lösbar ist
  2. BÜberlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
  3. CEine einzige Schleife
  4. DNur zufällige Eingaben
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum erreicht die binäre Suche auf einer einfach verketteten Liste keine Laufzeit von O(log n)?

  1. AVerkettete Listen können nicht sortiert werden
  2. BDie binäre Suche braucht mindestens doppelt so viel Speicher
  3. CDas Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt
  4. DVergleiche auf Knoten verketteter Listen sind langsamer
3.DatenstrukturenMittel

Warum kann ein binärer Heap ganz ohne Zeiger in einem Array gespeichert werden?

  1. AArrays halten Schlüssel automatisch sortiert, sodass keine Zeiger nötig sind
  2. BAlle Schlüssel in einem Heap sind gleich
  3. CHeaps enthalten nie mehr als 100 Elemente
  4. DEr ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln
4.DatenstrukturenSchwer

Was ist der Hauptvorteil einer Skip-Liste gegenüber einer sortierten verketteten Liste?

  1. AGarantierte Suche in O(1), weil jeder Knoten einen Zeiger auf jeden anderen Knoten speichert
  2. BErwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
  3. CSie benötigt keinen zusätzlichen Speicher
  4. DSie speichert Schlüssel ungeordnet
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K4? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K4
H =
6.GraphentheorieSchwer
14471210131211ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur

Warum das die Antwort ist

Das Speichern der Ergebnisse überlappender Teilprobleme (Memoisation oder Tabellierung) vermeidet doppelte Arbeit und macht aus exponentiellen Algorithmen polynomielle.

Antwort

B · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Das Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt

Warum das die Antwort ist

Die binäre Suche braucht O(1)-Zugriff auf die Mitte; in einer verketteten Liste kostet der Weg dorthin lineare Zeit, sodass die Gesamtlaufzeit O(n) ist.

Antwort

C · Das Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Er ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln

Warum das die Antwort ist

Vollständigkeit bedeutet, dass es keine Lücken gibt, daher liegen die Kinder von Index i immer bei 2i + 1 und 2i + 2.

Antwort

D · Er ist ein vollständiger Binärbaum, daher folgen die Positionen einfachen Indexformeln
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern

Warum das die Antwort ist

Zufällig gewählte Ebenen erlauben es, bei der Suche viele Knoten zu überspringen, was erwartete O(log n) für Suchen, Einfügen und Löschen ergibt.

Antwort

B · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
5.Graphentheorie

Antwort: H = 3

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Antwort

H = 3
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 28

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 14, C: 4
C (4): E: 16
B (14): D: 21
E (16): F: 28
D (21)
F (28)

Kürzester Weg

A → C → E → F
d(F) = 28

Antwort

d(F) = 28

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