Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Warum wechseln viele Sortierroutinen in Bibliotheken bei sehr kleinen Teilarrays zu Insertionsort?

  1. AInsertionsort ist im Worst Case O(n log n)
  2. BInsertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell
  3. CInsertionsort braucht bei großen Eingaben weniger Speicher als jeder andere Sortieralgorithmus
  4. DRekursive Algorithmen können Arrays mit weniger als 10 Elementen nicht verarbeiten
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Worin unterscheidet sich ein unentscheidbares Problem von einem praktisch unlösbaren (intractable)?

  1. ABeides bedeutet, dass es für das Problem überhaupt keinen Algorithmus gibt
  2. BPraktisch unlösbare Probleme können von keinem Algorithmus gelöst werden, unentscheidbare brauchen nur exponentielle Zeit
  3. CEin unentscheidbares Problem hat keinen Algorithmus für alle Eingaben; ein praktisch unlösbares hat einen, der aber zu langsam ist
  4. DUnentscheidbare Probleme liegen in NP, praktisch unlösbare in P
3.DatenstrukturenMittel

In einem binären Min-Heap, der in einem Array gespeichert ist (Index beginnt bei 0), liegen die Kinder des Knotens mit Index i bei:

  1. A2i + 1 und 2i + 2
  2. B2i und 2i + 1
  3. Ci/2 und i/2 + 1
  4. Di + 1 und i + 2
4.DatenstrukturenSchwer

Ein dynamisches Array verdoppelt sich, wenn es voll ist. Warum verkleinern es viele Implementierungen erst, wenn es zu einem Viertel gefüllt ist, und nicht schon bei halber Füllung?

  1. AUm das Array sortiert zu halten
  2. BUm wiederholtes Umdimensionieren zu vermeiden, wenn sich push und pop nahe der Grenze abwechseln
  3. CWeil der Speicherverwalter Speicher nur in Vierteln eines Blocks freigeben kann
  4. DWeil Halbieren bei halber Füllung Elemente verlieren würde
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
5971641718ABCDE

Der Prim-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, beginnend bei Knoten E. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 4 hinzufügt.

Start: Ek = 4
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Insertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell

Warum das die Antwort ist

Für kleine n schlägt die einfache Schleife von Insertionsort den Rekursions-Overhead von Quicksort oder Mergesort, obwohl sie O(n²) ist.

Antwort

B · Insertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Ein unentscheidbares Problem hat keinen Algorithmus für alle Eingaben; ein praktisch unlösbares hat einen, der aber zu langsam ist

Warum das die Antwort ist

Für das Halteproblem gibt es überhaupt keinen Algorithmus; ein NP-schweres Problem wie das TSP lässt sich per Brute Force lösen, nur nicht in bekannter polynomieller Zeit.

Antwort

C · Ein unentscheidbares Problem hat keinen Algorithmus für alle Eingaben; ein praktisch unlösbares hat einen, der aber zu langsam ist
3.Datenstrukturen

Antwort: A · 2i + 1 und 2i + 2

Warum das die Antwort ist

Bei 0-basierten Arrays liegt das linke Kind bei 2i + 1, das rechte Kind bei 2i + 2 und der Elternknoten bei ⌊(i − 1)/2⌋.

Antwort

A · 2i + 1 und 2i + 2
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Um wiederholtes Umdimensionieren zu vermeiden, wenn sich push und pop nahe der Grenze abwechseln

Warum das die Antwort ist

Verkleinern bei halber Füllung könnte in einer solchen Folge bei jeder Operation ein Umdimensionieren auslösen; der Abstand zwischen 1/4 und voll hält die amortisierten Kosten bei O(1).

Antwort

B · Um wiederholtes Umdimensionieren zu vermeiden, wenn sich push und pop nahe der Grenze abwechseln
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

C, E → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: Kante BD

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Prim-Algorithmus

1. CE (4)
2. BC (7)
3. AB (5)
4. BD (16)

Kantennummer 4

BD

Antwort

Kante BD

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