Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Liegt 22n in O(2ⁿ)?

  1. AJa, denn beide sind exponentiell
  2. BJa, denn konstante Faktoren im Exponenten werden in der Groß-O-Notation immer ignoriert
  3. CNein, denn 22n = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt
  4. DNein, denn 22n wächst langsamer als 2ⁿ
3.DatenstrukturenMittel

Die Schlüssel 50, 30, 70, 20, 40 werden in dieser Reihenfolge in einen leeren binären Suchbaum eingefügt. Was ist das linke Kind von 30?

  1. A70
  2. B20
  3. C50
  4. D40
4.DatenstrukturenSchwer

Ein Objekt wird als Schlüssel in einer Hashmap gespeichert, danach wird ein Feld geändert, das in seine Hashfunktion eingeht. Was ist die wahrscheinliche Folge?

  1. ADie Suche nach dem Objekt kann fehlschlagen, weil es im Bucket seines alten Hashs liegt
  2. BDie Map verschiebt den Schlüssel automatisch in seinen neuen Bucket
  3. CNichts ändert sich, weil der Hash eines Schlüssels nur einmal beim Programmstart berechnet wird
  4. DDie Map wirft im Moment der Feldänderung einen Fehler
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 4, 2 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 42 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
8396931015ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 3 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n)

Warum das die Antwort ist

Es gibt n Ebenen mit jeweils konstantem Aufwand, wie bei einer rekursiven Summe über ein Array.

Antwort

B · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Nein, denn 22n = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt

Warum das die Antwort ist

Eine zum Exponenten addierte Konstante ergibt einen konstanten Faktor, aber eine Konstante, die den Exponenten multipliziert, ändert die Basis und die Wachstumsrate.

Antwort

C · Nein, denn 22n = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt
3.Datenstrukturen

Antwort: B · 20

Warum das die Antwort ist

20 ist kleiner als 50 und kleiner als 30, wird also das linke Kind von 30; 40 wird sein rechtes Kind.

Antwort

B · 20
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Die Suche nach dem Objekt kann fehlschlagen, weil es im Bucket seines alten Hashs liegt

Warum das die Antwort ist

Der Platz des Schlüssels wurde anhand seines alten Hashs gewählt; mit einem neuen Hash suchen Abfragen im falschen Bucket, daher sollten Schlüssel unveränderlich sein.

Antwort

A · Die Suche nach dem Objekt kann fehlschlagen, weil es im Bucket seines alten Hashs liegt
5.Graphentheorie

Antwort: L = 8

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 16 = 2(L + 5) − 2
L = 8

Antwort

L = 8

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: B

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 8, C: 3
2. C (3): E: 12
3. B (8): D: 14
4. E (12): F: 22
5. D (14): F: 17
6. F (17)

Runde 3

B

Antwort

B

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