Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Eine topologische Sortierung ist nur möglich für:

  1. AGerichtete azyklische Graphen (DAG)
  2. BUngerichtete Graphen
  3. CVollständige Graphen
  4. DGraphen mit negativen Gewichten
3.DatenstrukturenMittel

Was ist der größtmögliche Füllgrad einer Hashtabelle mit offener Adressierung?

  1. A1
  2. B0,5
  3. CEs gibt kein Maximum
  4. D2
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Regel müssen Hash und Gleichheit befolgen, damit eine Hashtabelle korrekt funktioniert?

  1. AGleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben
  2. BHashwerte müssen Primzahlen sein
  3. CVerschiedene Schlüssel müssen verschiedene Hashwerte haben
  4. DGleiche Hashwerte bedeuten gleiche Schlüssel
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 4 Knoten vom Grad 3, 3 Knoten vom Grad 4, 4 Knoten vom Grad 5, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

4 × deg 33 × deg 44 × deg 5
L =
6.GraphentheorieSchwer
1011131129118ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n)

Warum das die Antwort ist

Nach dem Master-Theorem dominiert nlog₂ 2 = n den konstanten Aufwand, also T(n) = Θ(n), wie beim Finden eines Maximums durch Halbieren.

Antwort

B · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Gerichtete azyklische Graphen (DAG)

Warum das die Antwort ist

Eine topologische Ordnung existiert genau dann, wenn der gerichtete Graph keine Zyklen hat; sie lässt sich in O(V + E) mit DFS oder dem Kahn-Algorithmus finden.

Antwort

A · Gerichtete azyklische Graphen (DAG)
3.Datenstrukturen

Antwort: A · 1

Warum das die Antwort ist

Bei offener Adressierung liegen alle Schlüssel in der Tabelle selbst, daher kann n nicht größer als m sein; bei Separate Chaining kann der Füllgrad über 1 liegen.

Antwort

A · 1
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Gleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben

Warum das die Antwort ist

Würden zwei gleiche Schlüssel unterschiedlich gehasht, lägen sie in verschiedenen Buckets und Suchen würden fehlschlagen; ungleiche Schlüssel dürfen sich trotzdem einen Hash teilen.

Antwort

A · Gleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben
5.Graphentheorie

Antwort: L = 24

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 44 = 2(L + 11) − 2
L = 24

Antwort

L = 24

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 20

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 10, C: 11
B (10): D: 11, E: 18
C (11)
D (11): F: 20
E (18)
F (20)

Kürzester Weg

A → B → D → F
d(F) = 20

Antwort

d(F) = 20

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