Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma: Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Regulärer Graph: |E| = n·k/2
Baum und Wald: |E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

AO(n²)
BO(n log n)
CO(log n)
DO(n)

2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche zwei Dinge müssen gezeigt werden, um zu beweisen, dass ein Entscheidungsproblem X NP-vollständig ist?

AX lässt sich auf ein Problem in P reduzieren, und X liegt in NP
BX liegt in P, und X lässt sich auf SAT reduzieren
CX liegt in NP, und ein bekanntes NP-vollständiges Problem lässt sich in polynomieller Zeit auf X reduzieren
DX hat keinen polynomiellen Algorithmus, und X ist entscheidbar

3.DatenstrukturenMittel

Welche Zeitkomplexität hat die Suche nach einem Schlüssel in einem balancierten binären Suchbaum?

AO(log n)
BO(n)
CO(n log n)
DO(1)

4.DatenstrukturenSchwer

Warum kann man Elemente aus einem Standard-Bloom-Filter nicht einfach durch Löschen ihrer Bits entfernen?

ALöschen würde die Falsch-positiv-Rate auf 100 % erhöhen
BDiese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde
CBits in einem Bloom-Filter können nach der Erstellung nicht geändert werden
DBloom-Filter speichern die vollständigen Elemente, die nach dem Hashen nicht wiedergefunden werden können

5.GraphentheorieMittel

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6

1Euler-Kreis
2Euler-Weg, kein Kreis
3keines von beiden

6.GraphentheorieSchwer

Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 4 hinzufügt; übersprungene Kanten zählen nicht.

k = 4

1Kante AB
2Kante AC
3Kante BC
4Kante BD
5Kante CE
6Kante DE
7Kante DF
8Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n)

Warum das die Antwort ist

Nach dem Master-Theorem dominiert n^{log₂ 2} = n den konstanten Aufwand, also T(n) = Θ(n), wie beim Finden eines Maximums durch Halbieren.

Antwort

D · O(n)

2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · X liegt in NP, und ein bekanntes NP-vollständiges Problem lässt sich in polynomieller Zeit auf X reduzieren

Warum das die Antwort ist

Die Zugehörigkeit zu NP zeigt, dass X nicht schwerer als NP ist; die Reduktion von einem bekannten NP-vollständigen Problem zeigt, dass X mindestens so schwer ist wie ganz NP.

Antwort

C · X liegt in NP, und ein bekanntes NP-vollständiges Problem lässt sich in polynomieller Zeit auf X reduzieren

3.Datenstrukturen

Antwort: A · O(log n)

Warum das die Antwort ist

Ein balancierter Baum hat eine Höhe von etwa log₂ n, daher folgt eine Suche einem einzigen Pfad von der Wurzel zu einem Blatt.

Antwort

A · O(log n)

4.Datenstrukturen

Antwort: B · Diese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde

Warum das die Antwort ist

Das Löschen eines geteilten Bits würde ein anderes Element als fehlend erscheinen lassen; zählende Bloom-Filter verwenden Zähler statt Bits, um Löschen zu ermöglichen.

Antwort

B · Diese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde

5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; K_n hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Ungerade Knoten

B, C, D, E → 4

keines von beiden

Antwort

keines von beiden

6.Graphentheorie

Antwort: Kante CE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

1. AC (1)

2. DE (4)

3. BD (6)

4. CE (10)

5. DF (12)

Kantennummer 4

Antwort

Kante CE

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