Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Laufzeit hat LSD-Radixsort für n ganze Zahlen mit d Ziffern zur Basis k?

  1. AO(n²)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(n log n)
  4. DO(dn log k)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Definition der Klasse P ist richtig?

  1. AProbleme, die parallel gelöst werden können
  2. BEntscheidungsprobleme, die ein deterministischer Algorithmus in polynomieller Zeit löst
  3. CProbleme, die auf jedem Computer exponentielle Zeit brauchen
  4. DProbleme, deren Lösungen in polynomieller Zeit geprüft, aber nie gefunden werden können
3.DatenstrukturenMittel

Ein Straßennetz hat 100,000 Kreuzungen, die jeweils mit etwa 4 anderen verbunden sind. Welche Darstellung ist am besten geeignet?

  1. AAdjazenzmatrix
  2. BEin einziges sortiertes Array der Knoten
  3. CEin binärer Heap der Kanten
  4. DAdjazenzliste
4.DatenstrukturenSchwer

Du musst aus einem Strom von n Zahlen die k kleinsten Werte mit O(k) Speicher behalten. Welcher Ansatz schafft das in O(n log k) Zeit?

  1. AEin Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
  2. BEin sortiertes Array aller n Werte
  3. CEin Min-Heap mit allen n Werten, aus dem am Ende die k kleinsten entnommen werden
  4. DEine FIFO-Queue der letzten k Werte
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
10381651320415ABCDEFG

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(d(n + k))

Warum das die Antwort ist

Jeder der d Durchläufe ist ein Countingsort mit Kosten O(n + k), also ist der Gesamtaufwand bei festen d und k linear in n.

Antwort

B · O(d(n + k))
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Entscheidungsprobleme, die ein deterministischer Algorithmus in polynomieller Zeit löst

Warum das die Antwort ist

P enthält Entscheidungsprobleme mit einem deterministischen Polynomialzeitalgorithmus, etwa die Prüfung, ob ein Graph zusammenhängend ist.

Antwort

B · Entscheidungsprobleme, die ein deterministischer Algorithmus in polynomieller Zeit löst
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Adjazenzliste

Warum das die Antwort ist

Eine Matrix bräuchte 1010 Zellen, fast alle leer; eine Adjazenzliste speichert nur die rund 400,000 Kanteneinträge.

Antwort

D · Adjazenzliste
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt

Warum das die Antwort ist

Die Wurzel des Max-Heaps ist der größte behaltene Wert; jeder kleinere neue Wert ersetzt ihn in O(log k), sodass der Heap stets die bisher k kleinsten Werte enthält.

Antwort

A · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

C, D → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: W = 50

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

BD (3): nehmen
GD (4): nehmen
EF (5): nehmen
DE (8): nehmen
AB (10): nehmen
GB (13): überspringen, schließt einen Kreis
GE (15): überspringen, schließt einen Kreis
DF (16): überspringen, schließt einen Kreis
GC (20): nehmen

Gesamtgewicht

W = 3 + 4 + 5 + 8 + 10 + 20 = 50

Antwort

W = 50

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