Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat die Berechnung der n-ten Fibonacci-Zahl mit einer Bottom-up-Tabelle?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Liegt 22n in O(2ⁿ)?

  1. AJa, denn konstante Faktoren im Exponenten werden in der Groß-O-Notation immer ignoriert
  2. BJa, denn beide sind exponentiell
  3. CNein, denn 22n wächst langsamer als 2ⁿ
  4. DNein, denn 22n = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt
3.DatenstrukturenMittel

Mit welcher Datenstruktur prüft man, ob die Klammern in "{[()]}" ausgeglichen sind?

  1. AMit einem binären Suchbaum
  2. BMit einer Queue
  3. CMit einer Hashtabelle
  4. DMit einem Stack
4.DatenstrukturenSchwer

Wie hoch sind ohne Union by Rank und Pfadkompression die Kosten eines einzelnen find im schlechtesten Fall in einer Union-Find-Struktur mit n Elementen?

  1. AO(α(n))
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K5? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K5
H =
6.GraphentheorieSchwer
6221941342ABCDEFG

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 6 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n)

Warum das die Antwort ist

Das Füllen der Tabelle von 0 bis n kostet eine Addition pro Eintrag, also ist der Aufwand linear statt exponentiell.

Antwort

D · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Nein, denn 22n = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt

Warum das die Antwort ist

Eine zum Exponenten addierte Konstante ergibt einen konstanten Faktor, aber eine Konstante, die den Exponenten multipliziert, ändert die Basis und die Wachstumsrate.

Antwort

D · Nein, denn 22n = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Mit einem Stack

Warum das die Antwort ist

Lege jede öffnende Klammer mit push ab und hole bei einer schließenden Klammer mit pop eine heraus; sie muss zur entnommenen Klammer passen, und am Ende muss der Stack leer sein.

Antwort

D · Mit einem Stack
4.Datenstrukturen

Antwort: C · O(n)

Warum das die Antwort ist

Naive Vereinigungen können Bäume zu einer langen Kette verbinden, sodass find n − 1 Elternzeigern folgen muss; die beiden Heuristiken bringen es nahe an konstante Kosten.

Antwort

C · O(n)
5.Graphentheorie

Antwort: H = 12

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Antwort

H = 12
6.Graphentheorie

Antwort: E

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 6, C: 2
2. C (2): B: 4, E: 11
3. B (4): D: 5, G: 8
4. D (5): E: 9, F: 18, G: 7
5. G (7)
6. E (9)
7. F (18)

Runde 6

E

Antwort

E

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