Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat der übliche Algorithmus der dynamischen Programmierung für die längste gemeinsame Teilfolge zweier Zeichenketten der Längen m und n?

  1. AO(mn)
  2. BO(2m+n)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(m + n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Aussage über P und NP ist korrekt?

  1. ALösungen von NP-Problemen lassen sich nicht schnell überprüfen
  2. BNP bedeutet „nicht polynomiell“
  3. CJedes Problem in P liegt auch in NP
  4. DEs wurde bewiesen, dass P ≠ NP
3.DatenstrukturenMittel

Die Schlüssel 50, 30, 70, 20, 40 werden in dieser Reihenfolge in einen leeren binären Suchbaum eingefügt. Was ist das linke Kind von 30?

  1. A50
  2. B70
  3. C20
  4. D40
4.DatenstrukturenSchwer

Im BST mit Wurzel 50, linkem Teilbaum 30 (Kinder 20, 40) und rechtem Teilbaum 70 (Kinder 60, 80) wird die Wurzel mithilfe des In-Order-Nachfolgers gelöscht. Welcher Schlüssel wird die neue Wurzel?

  1. A40
  2. B60
  3. C70
  4. D80
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K8? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K8
H =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele Wege der Länge 3 führen von E nach F? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 3
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(mn)

Warum das die Antwort ist

Die Tabelle hat (m + 1)(n + 1) Zellen, und jede wird in O(1) aus ihren Nachbarn berechnet.

Antwort

A · O(mn)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Jedes Problem in P liegt auch in NP

Warum das die Antwort ist

P ⊆ NP: Wenn du ein Problem schnell lösen kannst, kannst du auch eine Lösung schnell überprüfen. Ob P = NP gilt, ist noch offen.

Antwort

C · Jedes Problem in P liegt auch in NP
3.Datenstrukturen

Antwort: C · 20

Warum das die Antwort ist

20 ist kleiner als 50 und kleiner als 30, wird also das linke Kind von 30; 40 wird sein rechtes Kind.

Antwort

C · 20
4.Datenstrukturen

Antwort: B · 60

Warum das die Antwort ist

Der linkeste Knoten des rechten Teilbaums ist 60, also ersetzt 60 die 50 und seine alte Position wird entfernt; mit dem Vorgänger ergäbe sich 40.

Antwort

B · 60
5.Graphentheorie

Antwort: H = 2520

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Antwort

H = 2520
6.Graphentheorie

Antwort: N = 5

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Ein weiterer Schritt

(M³)EF = 2·0 + 1·0 + 1·0 + 2·1 + 3·1 + 0·0 = 5

Antwort

N = 5

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