Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was bedeutet es, dass ein Problem optimale Teilstruktur hat?

  1. ADas Problem hat genau eine optimale Lösung, die jedes Teilproblem teilt
  2. BEine optimale Lösung lässt sich aus optimalen Lösungen seiner Teilprobleme zusammensetzen
  3. CDas Problem kann in konstanter Zeit gelöst werden
  4. DJedes Teilproblem hat dieselbe Größe
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum braucht jede vergleichsbasierte Suche in einem sortierten Array im Worst Case Ω(log n) Vergleiche?

  1. AJeder Vergleich braucht logarithmische Zeit
  2. BDie binäre Suche ist der einzig mögliche Algorithmus und braucht log₂ n Vergleiche
  3. CJedes Element muss mindestens einmal verglichen werden
  4. DEin Entscheidungsbaum mit n möglichen Ergebnissen muss mindestens die Tiefe log₂ n haben
3.DatenstrukturenMittel

Ein Trie (Präfixbaum) ist besonders effizient für:

  1. ADas Sortieren von Zahlen
  2. BDas Speichern von Matrizen
  3. CPräfixsuchen wie Autovervollständigung
  4. DDas Finden kürzester Wege
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Aussage über Heapsort ist richtig?

  1. AEr braucht einen binären Suchbaum als zusätzlichen Speicher und verbraucht daher O(n) zusätzlichen Speicher
  2. BEr ist stabil und braucht O(n) zusätzlichen Speicher
  3. CEr sortiert in place in O(n log n) im schlechtesten Fall, ist aber nicht stabil
  4. DEr läuft bei jeder Eingabe in O(n)
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
1102111091498ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(E) des kürzesten Weges von A nach E im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: E
d(E) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Eine optimale Lösung lässt sich aus optimalen Lösungen seiner Teilprobleme zusammensetzen

Warum das die Antwort ist

Optimale Teilstruktur ist sowohl für Greedy-Algorithmen als auch für dynamische Programmierung nötig, damit sie korrekte Ergebnisse liefern.

Antwort

B · Eine optimale Lösung lässt sich aus optimalen Lösungen seiner Teilprobleme zusammensetzen
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Ein Entscheidungsbaum mit n möglichen Ergebnissen muss mindestens die Tiefe log₂ n haben

Warum das die Antwort ist

Jeder Vergleich halbiert die Menge der verbleibenden Möglichkeiten höchstens, also braucht die Unterscheidung von n Positionen mindestens log₂ n Vergleiche.

Antwort

D · Ein Entscheidungsbaum mit n möglichen Ergebnissen muss mindestens die Tiefe log₂ n haben
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Präfixsuchen wie Autovervollständigung

Warum das die Antwort ist

Tries speichern Zeichenketten Zeichen für Zeichen entlang von Pfaden, daher dauern Suchen und Präfixabfragen proportional zur Schlüssellänge.

Antwort

C · Präfixsuchen wie Autovervollständigung
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Er sortiert in place in O(n log n) im schlechtesten Fall, ist aber nicht stabil

Warum das die Antwort ist

Heapsort baut einen Max-Heap und entnimmt n-mal das Maximum innerhalb desselben Arrays; Vertauschungen über große Abstände können gleiche Schlüssel umordnen.

Antwort

C · Er sortiert in place in O(n log n) im schlechtesten Fall, ist aber nicht stabil
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Ungerade Knoten

C, F → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: d(E) = 12

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): C: 1
C (1): B: 11, E: 12, G: 10
G (10)
B (11): D: 13
E (12): F: 21
D (13)
F (21)

Kürzester Weg

A → C → E
d(E) = 12

Antwort

d(E) = 12

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